Помогите решить нелинейное уравнение

[Mary-K]

$x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = \sqrt{x^2+y^2}\sqrt{ \frac{\partial u}{\partial x}^2 + \frac{\partial u}{\partial y}^2 } \cos(\alpha)$

$\alpha \in [0,\pi]$ - константа.
я привела уравнение к квадратичному относительно производных:
($\frac{\partial u}{\partial x})^2 (x^2 \sin^2(\alpha) - y^2 \cos^2(\alpha)) +(\frac{\partial u}{\partial y})^2( y^2 \sin^2(\alpha) - x^2 \cos^2(\alpha)) + 2 x y \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y} = 0$
но в имеющейся литературе не нашла, как такое решать.

Делала замену $u = f(\frac{x}{y})$ (т.к. уравнение допускает растяжение), но она приводит только к тождественно постоянному решению при $\alpha \in[0,\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},\pi]$, а также при $\alpha = \frac{\pi}{2}$ к правильному ответу.

Имеется ответ:

$u = f(\sqrt{x^2+y^2} \exp[\pm\arctg(\frac{x}{y}) \tg(\alpha)])$, где $f \in C^1$, такая что $f'(\xi) > 0, ~~\xi\in\mathbb {R}$ при $\alpha \in[0,\frac{\pi}{2})$, и $f'(\xi) > 0$ при $\alpha \in (\frac{\pi}{2},\pi]$

$u = f(\frac{x}{y})$ при $\alpha = \frac{\pi}{2}$

Подскажите, пожалуйста, направление решения или литературу.

[Vince Diesel]

Судя по ответу, надо перейти к полярным координатам

[Mary-K]

Спасибо, все получилось.