Операторный метод вычисления переходных процессов в ЛЭЦ

[Merkader]

Выполняю контрольную по теории электрических цепей, но решение уж как-то очень разнится с тем, что приведено в методичке. Нужна помощь.

Вот задание:

Ключ К1 должен быть разомкнут. Коммутация происходит путём переключения ключа К2 из положения 1 в положение 2. Операторным методом расчитать переходные процессы.
E=125 В w=10000 рад/с
R1=77 Ом R2=40 Ом R3=32 Ом
L=31 мГн С=0,67 мкФ
Расчёт переходных процессов операторным методом основан на использовании преобразования Лапласа.
До коммутации в цепи был включён источник постоянного напряжения. На постоянном токе индуктивность обладает нулевым сопротивлением, а ёмкость бесконечно большим. В эквивалентной схеме цепи для расчёта независимых начальных условий реактивные элементы заменяются на короткое замыкание и обрыв:

ток в цепи с индуктивностью определится выражением
$i_1(0-)=\frac {E} {r_1+r_2}=\frac {125} {77+40}=1,068$
напряжение на ёмкости
$u_C(0_)=i_1(0-)r_1=1,068\cdot77=82,236$
Согласно законам коммутации, ток в индуктивности и напряжение на ёмкости не могут измениться скачком
$i_1(0-)=i_1(0+)=1,068$
$u_c(0-)=u_c(0+)=82,236$
При составлении операторной схемы замещения все элементы цепи замещаются их операторными эквивалентами. Индуктивность замещается операторным индуктивным сопротивлением pL, ёмкость -- операторным ёмкостным сопротивлением $\frac {1} {pC}$, активное сопротивление не изменяется. Ненелувые начальные условия учитываются в цепях с индуктивностью и ёмкостью дополнительными источниками ЭДС:

Для расчёта операторной схемы я применю метод контурных токов.
Вот уравнения, описывающие цепь по методу контурных токов:
$(pL+r_1+r_2)J_1(p)+r_2J_2(p)=Li_1(0+)$
$r_2J_2(p)+(\frac {1} {pC}+r_3+r_2)J_2(p)=\frac {-u_C(0+)} {p}$
определители системы:
$\bigtriangleup=\begin{vmatrix} r_1+r_2+pL & r_2 \\ r_2 & r_2+r_3+\frac {1} {pC} \end{vmatrix}=(r_1+r_2+pL)(r_2+r_3+\frac {1} {pC})-r_2^2$
$\bigtriangleup_{J_1}=\begin{vmatrix} Li_1(0+) & r_2 \\ \frac {-u_C(0+)} {p} & r_2+r_3+\frac {1} {pC} \end{vmatrix}=(r_2+r_3+\frac {1} {pC})Li_1(0+)+r_2\frac {u_C(0+)} {p}$
$\bigtriangleup_{J_2}=\begin{vmatrix} r_1+r_2+pL & Li_1(0+) \\ r_2 & \frac {-u_C(0+)} {p} \end{vmatrix}=-((r_1+r_2+pL)\frac {u_C(0+)} {p}+r_2Li_1(0+))$
$J_1(p)=\frac {\bigtriangleup_{J_1}} {\bigtriangleup}=\frac {(r_2+r_3+\frac {1} {pC})Li_1(0+)+r_2\frac {u_C(0+)} {p}} {(r_1+r_2+pL)(r_2+r_3+\frac {1} {pC})-r_2^2}=$
$=\frac {pi_1(0+)+\frac {i_1(0+)} {C(r_2+r_3)}+\frac {r_2u_C(0+)} {L(r_2+r_3)}} {p^2+p(\frac {r_1+r_2} {L}-\frac {r^2_2} {L(r_2+r_3)}+\frac {1} {C(r_2+r_3)})+\frac {r_1+r_2} {CL(r_2+r_3)}}=$
$=\frac {1,068p+23613,067} {p^2+23787,033p+78237843,04}$
$J_2(p)=\frac {\bigtriangleup_{J_2}} {\bigtriangleup}=-\frac {(r_1+r_2+pL)\frac {u_C(0+)} {p}+r_2Li_1(0+)} {(r_1+r_2+pL)(r_2+r_3+\frac {1} {pC})-r_2^2}=$
$=-\frac {p\frac {u_C(0+)+r_2i_1(0+)} {r_2+r_3}+\frac {(r_1+r_2)u_C(0+)} {L(r_2+r_3)}} {p^2+p(\frac {1} {C(r_2+r_3)}+\frac {r_1+r_2} {L}-\frac {r_2^2} {L(r_2+r_3)})+\frac {r_1+r_2} {CL(r_2+r_3)}}=$
$=-\frac {p1,736+4310,758} {p^2+p23786,997+78237843,04}$
Ёмкость на операторной схеме замещения цепи озображается операторным сопротивлением и источником ЭДС, учитывающим ненулевые начальные условия.
Выражение для операторного напряжения на ёмкости
$U_C(p)=\frac {u_C(0+)} {p}+\frac {1} {pC}J_2(p)$
после подстановки
$U_C(p)=\frac {82,236} {p}-\frac {p2590298+6433967261} {p(r^2+p23786,997+78237843,04)}$
Для перехода от найденых операторных изображений токов и напряжений к оригиналам воспользуюсь теоремой разложения.
Оригинал находится по выражению
$f(t)=\sum_{k=1}^{n}{\frac {F_1(p_k)} {F_2'(p_k)}e^{p_kt}}$
для тока в индуктивности $i_1(t)$
$F_1(p)=1,068p+23613,067$
$F_2(p)=p^2+23786,997p+78237843,04$
$F_2'(p)=2p+23786,997$
нахожу корни характеристического уравнения
$p^2+23786,997p+78237843,04=0$
$p_1=-3942,549$
$p_2=-39688,969$
$i_1(t)=\frac {F_1(p_1)} {F_2'(p_1)}e^{p_1t}+\frac {F_1(p_2)} {F_2'(p_2)}e^{p_2t}=$
$=1,22e^{-3942,549t}-0,182e^{-39688,969}$
Переходное напряжение на ёмкости вычисляю используя изображение $U_C(p)$ и свойство линейности преобразования Лапласа:
Сумме изображений $U_C(p)=U_1(p)+U_2(p)$ будет соответствовать сумма оригиналов $u_c(t)=u_1(t)+u_2(t)$
$U_1(p)=\frac {82,236} {p}$
$U_2(p)=-\frac {2590298,507p+6433967261} {p(p^2+23786,997p+87237843,04)}$
изображению $U_1(p)$ в области оригиналов соответствует константа $u_1(t)=82,236$
оригинал $u_2(t)$ определяю, используя теорему разложения. Характеристическое уравнение $F_2(p)=0$ имеет три корня:
$p_1=0, p_2=-3942,549, p_3=-39688,969$
$u_2(t)=-\frac {F_1(p_1)} {F_2'(p_1)}e^{p_1t}-\frac {F_1(p_2)} {F_2'(p_2)}e^{p_2t}-\frac {F_1(p_3)} {F_2'(p_3)}e^{p_3t}$
верно? в этом случае минусы будут?
$u_2(t)=-82,236-60,267e^{-3943t}+33,053e^{-39689t}$
$u_c(t)=33,053e^{-39689t}-60,267e^{-3943t}$
Длительность переходного процесса равна трём постоянным времени:
$\tau=\frac {1} {|p|_{min}}=\frac {1} {3943}=0,254\cdot10^{-3}$
$t_{nn}=3\tau=3\cdot0,254\cdot10^{-3}=0,761\cdot10^{-3}$
Дальше строю соответствующие графики, но это уже не касается решения.
Видимо, я допустила в решении серьёзные ошибки, так как ожидала, что ток и напряжение будут в результате синусоидальными.
Помогите, пожалуйста, разобраться.

[profrotter]

1. Минусы будут.
2. Ток и напряжение тут могут быть не синусоидальными, а квазигармоническими, то есть соответствующими закону $e^{-\frac {t}{\tau}}cos(\omega_0t+\phi)$. Произойдёт это тогда, когда характеристическое уравнение цепи будет иметь два комплексно-сопряжённых корня. Судя по вашим расчётам это не имеет место и переходной процесс является апериодическим.
3. В послекоммутационной схеме не должено быть источника $E$
4. Проверьте себя ещё разок: также как и в классическом методе разорвите послекоммутационную цепь в любой точке, составьте характеристическое уравнение. Его корни должны совпасть с вашими -3943 и -39689.
5. Характеристическое уравнение у цепи бывает только одно, поэтому тут

Merkader в сообщении #440753 писал(а):

Характеристическое уравнение $F_2(p)=0$ имеет три корня:
$p_1=0, p_2=-3942,549, p_3=-39688,969$

Корректнее писать: "уравнение $F_2(p)=0$ имеет три корня:$p_1=0, p_2=-3942,549, p_3=-39688,969$"

[Mihail31]

//вырезано//

Парджеттер:

Автор забанен за спам

[profrotter]

Торгующие в храме?