Интеграл

[bundos]

Пусть $a, b$- действительные числа, такие, что $b\leqslant 0$ и $1+ax+bx^2\geqslant 0$. для любых $x$ из $[0,1]$. Доказать, что:
1. $\lim\limits_{n\to\infty}n\int_0^1(1+ax+bx^2)^ndx=-\frac1a$, если $a<0$ и $\lim\limits_{n\to\infty}n\int_0^1(1+ax+bx^2)^ndx=\infty$, если $a\geqslant 0$

2. Пусть функция $f: [0,1]\rightarrow[0,\infty)$ с непрерывной первой производной и пусть $f''(x)\leqslant 0$ для любых $x\in [0,1]$. Пусть $L=\lim\limits_{n\to\infty}\int_0^1(f(x))^ndx$ существует и $0<L<\infty$. Доказать, что $f'$ имеет постоянный знак и $\Mathrm{\min\limits_{x\in[0,1]}}|f'(x)|=L^{-1}$

Как решать, понятия не имею ни 1, ни 2. Помогите.

-- Вс май 01, 2011 16:24:16 --

Ну больше всего интересует пункт 2 :).

[Sonic86]

Пока 1.:
б) При $a \geq 0$ трехчлен в окрестности $(0;x_0)$ больше 1, исходите из этого.

Ой! У Вас $1+ax+bx^2\geqslant 0$, но под интегралом $1+ax^2+bx$?

[bundos]

Вы имеете ввиду асимптотику этого интеграла поискать? Ну а как из этого её искать? У меня не получилось...

-- Вс май 01, 2011 16:43:59 --

Да кстати, а как вообще асимптотику интегралов то искать? Я с этим ещё ни разу не сталкивался.

[ewert]

По первому пункту. Второй случай тривиален, а для первого докажите, что именно так себя ведёт $n\int\limits_0^{n^{-2/3}}(1+ax+bx^2)^n\,dx$ (интеграл по оставшемуся участку даст в пределе ноль, т.к. там подынтегральная функция убывает более-менее экспоненциально). Для этого перейдите к экспоненте под интегралом, оцените логарифм в показателе по Тейлору и сделайте замену $nx=t$.

Для второго примера: функция или очень монотонна (очень в том смысле что её производная отделена от нуля), или имеет внутри промежутка или на его конце локальный максимум, в котором первая производная равна нулю. В первом случае утверждение доказывается примерно как в предыдущем примере (из условий задачи следует, что максимальное значение функции в точности равно единице, иначе эти условия не могут быть выполнены). Во втором -- докажите, что этот предел не может быть конечным (он уходит на бесконечность со скоростью не менее $\sqrt n$).

Только два замечания. Во-первых, Вы явно потеряли во втором примере $n$ перед интегралом; найдите его. Во-вторых, условий на вторую производную там как-то явно недостаточно; надо бы дополнительно потребовать от второй производной если и не непрерывности, то хотя бы ограниченности.