2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 тяжело даются теоретические задания по интегралам
Сообщение01.05.2011, 11:29 
Аватара пользователя
очень тяжело.
лучше бы дали взять штук 20 разных. там хоть ясно что делать.
а здесь не знаю - играть с пределами интегрирования и с первообразной.
поэтому два конкретных вопроса и один общий.
Как к ним подходить?

1) f непрерывна и $\int\limits_{0}^\infty f(x)dx$ сходится
доказать, что $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\int\limits_{x}^{x^2}f(x)dx}$ = 0

2) f непрерывна, $\int\limits_{0}^\infty f(x)dx$ сходится абсолютно
и существует предел $\lim\limits_{x\rightarrow\infty} f(x)

доказать сходимость $\int\limits_{0}^\infty f(x)f(x^2)dx$

 
 
 
 Re: тяжело даются теоретические задания по интегралам
Сообщение01.05.2011, 12:01 
Например так:
1) Вспомните критерий сходимости несобственного интеграла через его остаток.
2) оцените интеграл произведения сверху через оценку $f(x^2)$ сверху.
Если не наврал :roll:

 
 
 
 Re: тяжело даются теоретические задания по интегралам
Сообщение01.05.2011, 12:48 
Аватара пользователя
1) какой такой остаток?
:shock:

2) понял, что надо сравнивать, но ведь сравнивать можно только интегралы от неотрицательных фукции...или нет?

update:
а..это она и есть...сори

 
 
 
 Re: тяжело даются теоретические задания по интегралам
Сообщение01.05.2011, 12:58 
tavrik в сообщении #440559 писал(а):
доказать, что $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\int\limits_{x}^{x^2}f(x)dx}$ = 0

Поскольку $x^2>x$ при всех достаточно больших $x$, это -- такой ма-аленький кусочек критерия Коши сходимости несобственного интеграла.

(другое дело, что размышлениям на эту тему может помешать безграмотная запись этого интеграла: пределы интегрирования и переменная интегрирования должны обозначаться разными буквами)

tavrik в сообщении #440559 писал(а):
существует предел $\lim\limits_{x\rightarrow\infty} f(x)$

Это -- намёк на то, что функция ограничена. Небольшой нюанс: при выписывании формального доказательства необходимо не забыть упомянуть, что раз уж предел существует, то он в данной ситуации непременно конечен (и даже равен нулю, но это уже не важно).

 
 
 
 Re: тяжело даются теоретические задания по интегралам
Сообщение01.05.2011, 13:17 
Аватара пользователя
вот. тут не совсем так.
предел может быть конечен а может быть бесконечен(по условию задачи).

 
 
 
 Re: тяжело даются теоретические задания по интегралам
Сообщение01.05.2011, 13:21 
tavrik в сообщении #440585 писал(а):
предел может быть конечен а может быть бесконечен(по условию задачи).

А я о чём?... Докажите, что в совокупности условий задачи предел не может быть бесконечным.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group