правильные треугольники на гексагональной сетке

[anermak]

На гексагональной сетке размером n-n-n (см.рис) произвольным образом выбирают три точки. Какова вероятность того, что они будут расположены в вершинах правильного треугольника?

[age]

Громоздкая задача. Всего точек в сетке $\dfrac{5n^2}{8}+\dfrac{3n}{4}$. Следовательно, из каждых произвольных двух точек можно построить $\dfrac{5n^2}{8}+\dfrac{3n}{4}-2$ всевозможных треугольников. Лишь некоторое количество из них будет равносторонними. Чтобы посчитать это количество надо индивидуально рассматривать каждые отдельные две точки, в зависимости от их положения на сетке. Так, например, из двух смежных точек, находящихся на границе сетке можно построить лишь один равносторонний треугольник, а из неграничных - два равносторонних треугольника.

Далее, максимальный равносторонний треугольник может иметь сторону не более $\dfrac{n\sqrt3}{2}$. Таким образом, если между двумя точками расстояние $>\dfrac{n\sqrt3}{2}$, то ни одного равностороннего треугольника построить невозможно. Количество таких точек $3(n-1)+3(n-2)+...+3\cdot2=\dfrac{3n(n-1)}{2}-3$.

Далее надо считать количество расположений двух точек из которых можно построить два треугольника, и количества расположений, из которых только один.

В конце берём общее количество способов, которым можно разместить 2 точки на сетке: $C_{\frac{5n^2}{8}+\frac{3n}{4}-2}^2=\dfrac{\left(\dfrac{5n^2}{8}+\dfrac{3n}{4}-2\right)\left(\dfrac{5n^2}{8}+\dfrac{3n}{4}-3\right)}{2}$
Значит, вероятность что нельзя будет построить ни одного равностороннего треугольника будет:
$\dfrac{3n(n-1)-6}{\left(\dfrac{5n^2}{8}+\dfrac{3n}{4}-2\right)\left(\dfrac{5n^2}{8}+\dfrac{3n}{4}-3\right)}$

Искомая вероятность будет между:

$$\left(1-\dfrac{3n(n-1)-6}{\left(\dfrac{5n^2}{8}+\dfrac{3n}{4}-2\right)\left(\dfrac{5n^2}{8}+\dfrac{3n}{4}-3\right)}\right)\cdot\dfrac{1}{\dfrac{5n^2}{8}+\dfrac{3n}{4}-2}<P<\left(1-\dfrac{3n(n-1)-6}{\left(\dfrac{5n^2}{8}+\dfrac{3n}{4}-2\right)\left(\dfrac{5n^2}{8}+\dfrac{3n}{4}-3\right)}\right)\cdot\dfrac{2}{\dfrac{5n^2}{8}+\dfrac{3n}{4}-2}$$

Если нигде не обсчитался.

[arseniiv]

(Оффтоп)

А разве эту сетку не треугольной называют?

[nnosipov]

Можно относительно легко подсчитать число красненьких треугольничков, но вот как пересчитывать сине-зелёненькие, пока непонятно. Вообще, задачка интересная.

[age]

nnosipov
Если расстояние между двумя точками не более $\dfrac{n\sqrt3}{2}$, то на них можно построить не более двух равносторонних треугольников. В противном случае - ни одного. Больше двух нельзя.

[Sergic Primazon]

Обозначим длину стороны этого шестиугольника через $m$ . Тогда число правильных треугольников : $N=C_{m+1}^2*(7C_{m+1}^2+1)$

[nnosipov]

Sergic Primazon в сообщении #441451 писал(а):

Обозначим длину стороны этого шестиугольника через $m$ . Тогда число правильных треугольников : $N=C_{m+1}^2*(7C_{m+1}^2+1)$

При $m=1$ я насчитал 12 правильных треугольников.

[Sergic Primazon]

nnosipov в сообщении #441526 писал(а):

Sergic Primazon в сообщении #441451 писал(а):

Обозначим длину стороны этого шестиугольника через $m$ . Тогда число правильных треугольников : $N=C_{m+1}^2*(7C_{m+1}^2+1)$

При $m=1$ я насчитал 12 правильных треугольников.

При $m=1$ получается 8 правильных треугольников

[nnosipov]

Sergic Primazon в сообщении #442062 писал(а):

nnosipov в сообщении #441526 писал(а):

Sergic Primazon в сообщении #441451 писал(а):

Обозначим длину стороны этого шестиугольника через $m$ . Тогда число правильных треугольников : $N=C_{m+1}^2*(7C_{m+1}^2+1)$

При $m=1$ я насчитал 12 правильных треугольников.

При $m=1$ получается 8 правильных треугольников

И в самом деле.