Красим окружность в два цвета

[Xenia1996]

Покрасить каждую точку данной окружности в красный или синий цвет так, чтобы ни один

а) прямоугольный
б) равносторонний

треугольник, вписанный в эту окружность, не имел трёх вершин одного цвета.

в) а если равнобедренный?

[gris]

С прямоугольными понятно — они все на диаметр опираются.

[caxap]

Половину в синий цвет, другую -- в красный. На соотв. диаметре одну точку в синий цвет, другую -- в красный.

[Xenia1996]

gris в сообщении #440438 писал(а):

С прямоугольными понятно — они все на диаметр опираются.

С остальными - ещё легче

-- Сб апр 30, 2011 20:59:40 --

caxap в сообщении #440439 писал(а):

Половину в синий цвет, другую -- в красный. На соотв. диаметре одну точку в синий цвет, другую -- в красный.

Круто, едем дальше.

[gris]

С половинками тупые равнобедренные не пройдут.
А что если доказать, что при любой раскраске будет существовать хотя бы один одноцветный равнобедренный?

[Xenia1996]

gris в сообщении #440444 писал(а):

С половинками тупые равнобедренные не пройдут.
А что если доказать, что при любой раскраске будет существовать хотя бы один одноцветный равнобедренный?

Вот и я о том же.
Подсказка: возьмите маааленький кусочек окружности и представьте, что он - отрезок.

[svv]

Xenia1996 писал(а):

в) а если равнобедренный?

Впишем в окружность правильный пятиугольник. Обозначим вершины вдоль окружности A, B, C, D, E.

При любой раскраске найдутся две соседние вершины одного цвета.
Пусть это C и D, и они красные.
ACD равнобедренный, значит, A синяя.
BCD равнобедренный, значит, B синяя.
ECD равнобедренный, значит, E синяя.
ABE равнобедренный, и все его вершины уже покрашены в синий цвет.

[Andrey173]

Для равностороннего треугольника: делим тремя точками окружность на три равные части, и красим две из них в один цвет, а третью в другой.

[caxap]

svv в сообщении #440517 писал(а):

Впишем в окружность правильный пятиугольник. Обозначим вершины вдоль окружности A, B, C, D, E.

Красивое решение! Только не понял, зачем вы так всё подробно расписывали. В правильном 5-угольнике любые 3 вершины образуют р/б треугольник.

Мне вот интересно, что имел в виду Xenia1996 тут

Xenia1996 в сообщении #440445 писал(а):

Подсказка: возьмите маааленький кусочек окружности и представьте, что он - отрезок.

(Первое, что приходит в голову: возьмём маленький непрерывный участок, закрашенный одним цветом и в него вписываем треугольник. Но бывают раскраски, в котором такого непрерывного участка нет.)

[Xenia1996]

caxap в сообщении #440549 писал(а):

Мне вот интересно, что имела в виду Xenia1996 тут

Xenia1996 в сообщении #440445 писал(а):

Подсказка: возьмите маааленький кусочек окружности и представьте, что он - отрезок.

(Первое, что приходит в голову: возьмём маленький непрерывный участок, закрашенный одним цветом и в него вписываем треугольник. Но бывают раскраски, в котором такого непрерывного участка нет.)

Взяла маааленький кусочек окружности и представила, что он - отрезок. Его концы и середина не могут быть все три одного цвета. Разобрала два случая: 1) середина одного цвета, концы - другого, 2) один конец одного цвета, другой и середина - другого.

[svv]

сахар, Вы правы. Только так и надо:
Впишем в окружность правильный пятиугольник. Любые три его вершины образуют равнобедренный треугольник. Среди его вершин всегда найдутся три одного цвета.