Диф.уравнение в частных производных (задача Коши).

[Globik]

Доброго времени суток! При решении достаточно непростой задачи Коши столкнулся с простой, но ставящей в какое то непонятное недоумение задачей, а именно:

при замене $\xi = x + at$ и $\eta = x - at$ получил уравнение $U_\xi\eta = bU$

начальные условия:

$U(x, 0) = x^2$
$U_t (x, 0) = 0$
$b - const, t>0, x \in \mathbb{R}$
Не могу решить :(

Извиняюсь за такой глупый вопрос, но порой простые задачи чаще ставят в тупик, чем сложные :)
Не могу решить и все...подсказали как то замену сделать, типа частная производная по второй переменой от исходной функции заменить на новую функцию...но тоже если честно непонятно, что дальше делать...

[MaximVD]

Не знаю насколько правильным будет мой совет, но может быть стоит решать это уравнение, как обыкновенное дифференциальное уравнение, но при интегрировании будет появляться не константа $C$, а произвольная функция от $\eta$, которую можно будет определить воспользовавшись условием $U_t(x,0) = 0$.

[ewert]

Globik в сообщении #440208 писал(а):

при замене $\xi = x + at$ и $\eta = x - at$ получил уравнение $U_\xi\eta = bU$

Теперь сделайте обратную замену, получите волновое уравнение в классическом виде и выпишите решение по стандартной формуле Даламбера.

[Globik]

Ну собственно при обратной замене я получаю то исходное уравнение которое я решал:

$U_t_t = a^2 U_x_x + bU$

формулой Даламбера без проблем можно было бы воспользоваться, если бы вместо $bU$ была другая функция, произвольная какая-нибудь, то там да спокойно все решается, а тут у меня вроде как однородное блин уравнение, но вот это $bU$ совсем с панталыги сбивает...

[ewert]

А, да, прошу прощения, зазевался. Предложение снимается.

[Globik]

ewert
Это нормально, я по привычке тоже смотрел сначала как на неоднородное :)

MaximVD
Неее, так не катит, там при интегрировании получается интеграл от искомой функции плюс как раз та самая константа (произвольная функция), при повторном интегрировании результат становится еще более печальным :)

[sup]

Замену переменных делать все же не стоит. Лучше попробуйте решение продифференцировать пару раз по $x$. Что из этого выйдет?

[Globik]

sup

Получится $U_t_t_x_x = a^2 U_x_x_x_x + bU_x_x$ :)


Тут еще поступило предложение рассматривать решение задачи, то есть функцию $U(x,t)$ в виде:

$U(x,t) = x^2 P(t)+Q(t)$

где понятное дело $P$ и $Q$ функции зависящиее только от $t$
но легче от этого не стало :(

[sup]

Вау ... Я совсем не это имел в виду. Обозначим вторую производную по $x$ через $v$. Тогда
$v_{tt}=av_{xx}+bv$
$v(x,0)=2,v_t(x,0)=0$
Эту задачу Вы можете решить? А потом уже вернуться к исходной функции $u$.

[Globik]

sup в сообщении #440239 писал(а):

Вау ... Я совсем не это имел в виду. Обозначим вторую производную по $x$ через $v$. Тогда
$v_{tt}=av_{xx}+bv$
$v(x,0)=2,v_t(x,0)=0$
Эту задачу Вы можете решить? А потом уже вернуться к исходной функции $u$.

Решительно не понимаю как у вас так все получилось :)

Если обозначить $U_x_x = V$ то исходное уравнение запишется в виде $U_t_t = a^2 V + bU$
:))))

[Globik]

(Оффтоп)

Светлые умы, где вы

[sup]

Globik в сообщении #440237 писал(а):

Получится $U_t_t_x_x = a^2 U_x_x_x_x + bU_x_x$

Ну и что получится, если в этом уравнении сделать замену $v=U_{xx}$?
Получится простая задача в которой исчезнет явная зависимость от $x$. Решение $v$ найдется как некая функция $v(t)$.
После этого можно найти уже и $U(x,t)$ как решение уравнения $U_{xx}=v(t)$.
А можно и не разыскивать $v(t)$, а сообразить,что имеет место представление (которое Вам уже советовали)
$U(x,t) = x^2 P(t)+xQ(t) + S(t)$,
подставить его в уравнение и краевые условия и найти эти самые $P(t),Q(t),S(t)$. (Полагаю, что дифференцирование таких выражений не представляет для Вас труда.)
Проще такого совета только явное решение.

[Globik]

Все, решил!!!)) правда раза так с ***цатого, но получилось.
Теперь остался один вопрос, а как теоретически обосноваться такое представление? То есть исходя из каких соображений мы можем представить исходную функцию в виде

$U(x, t) = x^2 Q(t) + S(t)$

Это связано как то с характеристической функцией?

[sup]

Ну дык я же Вам всячески намекал, как придти к такому представлению. В конце концов получилось уравнение
$U_{xx}=v(t)$
Ну и напишите общее решение такого диффура.

[Globik]

sup
Все, озарение снизошло, окончательно во всем разобрался! Спасибо за терпение!