Игра в СЛАУ

[Xenia1996]

Игровым полем является СЛАУ

$$ \begin{cases} *x+*y+*z+*w+*u=0 \\ *x+*y+*z+*w+*u=0 \\ *x+*y+*z+*w+*u=0 \\ *x+*y+*z+*w+*u=0 \\ *x+*y+*z+*w+*u=0 \\ \end{cases} $$

Играют двое. Ход заключается в том, чтобы стереть звёздочку и заменить её вещественным числом. Задача начинающего - добиться, чтобы СЛАУ имела ненулевое решение (желательно, строго ненулевое). Задача второго - помешать первому.
Кто выигрывает при правильной игре и как он должен играть?

[zhekas]

первому достаточно не писать ничего в первой и второй строке. А когда второй начнёт в них что то писать просто дублировать коэффициенты в соответствующую строку.

Выигрывает первый

[ИСН]

Какое такое "строго ненулевое" может быть у этой штуки?

[Xenia1996]

zhekas в сообщении #439987 писал(а):

первому достаточно не писать ничего в первой и второй строке. А когда второй начнёт в них что то писать просто дублировать коэффициенты в соответствующую строку.

Выигрывает первый

Поподробнее, пожалуйста.
И какое решение у Вас выходит - ненулевое или строго ненулевое?
А то у меня строго ненулевое вышло.

-- Пт апр 29, 2011 17:06:48 --

ИСН в сообщении #439988 писал(а):

Какое такое "строго ненулевое" может быть у этой штуки?

Например, (1, 1, 1, 1, 1).
Но это я уже ооочень грубо подсказала

[zhekas]

чтобы у однородной системы было ненулевое решение, необходимо и достаточно, что бы у неё был нулевой определитель. Этого можно добиться, если у неё будут два одинаковых уравнения. То есть, например, если коэффициенты у первой строки совпадали с коэффициентами у второй.

Соответственно, первый не будет заполнять самостоятельно коэффициенты у первых двух строк. А когда второй начнёт это делать (а он обязательно начнёт это делать первым), например поставит коэффициент в первом у равнении, то первый продублирует его во втором

[Xenia1996]

zhekas в сообщении #439992 писал(а):

чтобы у однородной системы было ненулевое решение, необходимо и достаточно, что бы у неё был нулевой определитель. Этого можно добиться, если у неё будут два одинаковых уравнения. То есть, например, если коэффициенты у первой строки совпадали с коэффициентами у второй.

Соответственно, первый не будет заполнять самостоятельно коэффициенты у первых двух строк. А когда второй начнёт это делать (а он обязательно начнёт это делать первым), например поставит коэффициент в первом у равнении, то первый продублирует его во втором

Какие детерминанты? Задача для 7 класса!

[ИСН]

под строго ненулевым я понимал такую ситуацию (невозможную здесь), когда сплошные нули - не решение.
а когда все ненулевые - это как-то иначе надо называть.
По сути zhekas всё сказал.

[Tlalok]

Своими действиями первый игрок добивается получения системы у которой четыре переменные зависят от пятой.
Т.е система будет иметь бесконечно много решений

Если еще проще - нужно сделать так, чтобы в системе были хотя бы два одинаковых уравнения. Тогда Вы одно уравнение сможете вычеркнуть. И получите систему из 4-х уравнений с 5-ю неизвестными.

[Xenia1996]

Первый стирает в третьем уравнении звёздочку перед z и пишет 1 (поф плевать).
Теперь в первом уравнении стёрто нечётное число звёздочек, а в остальных - чётное.
Если второй игрок пишет что-то в третьем уравнении, первый тоже пишет и, таким образом после хода первого в третьем уравнении всегда будет стёрто нкчётное число звёзд. Когда придёт время стирать пятую звезду в третьем уравнении, первый игрок всегда может добиться, чтобы это уравнение имело решение (1, 1, 1, 1, 1).

Если второй пишет не в третьем уравнении, первый пишет в симметричном относительно третьего. Скажем, второй поставил во втором уравнении перед w число 2, первый может поставить в четвёртом перед любой переменной любое число. Таким образом, во втором и четвёртом уже будет стёрто по одной звезде.
Когда второй сотрёт четвёртую звезду в каком-нибудь уравнении, первый в этом же уравнении сотрёт пятую так, чтобы уравнение имело решение (1, 1, 1, 1, 1).

Короче, смысл такой - вынудить второго стереть в каждом из уравнений звезду так, чтобы после его хода было стёрто 4 звезды в этом уравнении. Тогда первый стирает пятую, добиваясь, чтобы уравнение имело решение (1, 1, 1, 1, 1).

А пятой звездой (не важно перед какой из переменных) всегда можно добиться, чтобы уравнение имело решение (1, 1, 1, 1, 1).

Например: $5x+3y+*z+2w+6u=0$
Ставим перед z число $-16$ и уравнение будет иметь решение (1, 1, 1, 1, 1).

Таким образом, первый добивается того, что в каждом из уравнений последняя звезда стирается им, а значит, вся СЛАУ будет иметь решение (1, 1, 1, 1, 1).

Надеюсь, я не слишком запутанно написала...

[Tlalok]

Вы сильно запутали решение. Более того, оно слишком сложное. Это первый игрок каждый раз должен подбирать пятый коэффициент так, что бы уравнение имело решение $(1, 1, 1, 1, 1)$.
Есть более простая стратегия. И zhekas ее Вам предложил.
Задача первого игрока получить в системе хотя бы два одинаковых уравнения. При такой стратегии первый игрок всегда выигрывает.

[Xenia1996]

Tlalok в сообщении #440016 писал(а):

Задача первого игрока получить в системе хотя бы два одинаковых уравнения. При такой стратегии первый игрок всегда выигрывает.

Вопрос в том, какое именно решение будет иметь СЛАУ в Вашем случае.

[Tlalok]

А какая разница? Система будет иметь БЕСКОНЕЧНО МНОГО решений. И ВСЕГДА найдется, в Ваших формулировках, "строго ненулевое".


Если Вы хотите чтобы система имела ОДНО решение, то нужно указать это в условии.

[Equinoxe]

Всё ещё проще!
Решение: первый всегда ходит в любую строку, где кол-во известных коэфф. чётно.
Решение для СЛАУ: любые одинаковые значения

Ведь тогда первый добьётся того, чтобы в каждой строке его ход был последним, и он сможет сделать так, чтобы сумма коэффициентов везде была равна 0.

Инвариант: в момент хода первого всегда есть строчка с четным кол-вом известных коэфф.
Теперь докажем, что второй не сможет сломать инвариант. Ясно, что это возможно лишь когда, когда осталась ровно одна четная строка. Но посмотрим на четность кол-ва ходов: 1+1+1+1+0=0, что невозможно, ведь ходит второй!

[Tlalok]

Equinoxe
Именно это решение и было предложено автором поста. И оно не есть самое простое.

[Xenia1996]

Tlalok в сообщении #440018 писал(а):

А какая разница? Система будет иметь БЕСКОНЕЧНО МНОГО решений. И ВСЕГДА найдется, в Ваших формулировках, "строго ненулевое".

Повторяю, задача для 7 класса. Поэтому и решить я её попыталась "глазами семиклассницы", без линейной алгебры. А так, Вы, конечно, правы.