Уравнение по мотивам итальянской олимпиады

[Xenia1996]

Доказать, что при любом целом $n$ уравнение $a^2+b^2=c^2+n$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #439795 писал(а):

Доказать, что при любом целом $n$ уравнение $a^2+b^2=c^2+n$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

Ну, это легко. Достаточно переписать в виде $(a-c)(a+c)=n-b^2$. В 1997 году была на турнире городов (с $n=1997$, разумеется).
Вот ещё одна в этом же стиле: найдите все натуральные числа $k$, для которых найдутся такие натуральные $m$ и $n$, что $m(m+k)=n(n+1)$.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #439846 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #439795 писал(а):

Доказать, что при любом целом $n$ уравнение $a^2+b^2=c^2+n$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

Ну, это легко. Достаточно переписать в виде $(a-c)(a+c)=n-b^2$.

Только наоборот:

$(c-a)(c+a)=b^2-n$

Вообще, от $n$ зависит. Если оно положительно, то переписывать надо так, как у меня, а если отрицательно - так, как у Вас. Потому что, например, если $n=1$, то Ваш вариант бесконечно много решений не принесёт.
А в оригинальном итальянском уравнении было $a^2+b^2=c^2+3$. Когда я решила, я поняла, что троечка спокойно заменяется на любое целое число.

-- Пт апр 29, 2011 12:55:03 --

nnosipov в сообщении #439846 писал(а):

В 1997 году была на турнире городов (с $n=1997$, разумеется).

Нашла:

http://problems.ru/view_problem_details ... p?id=98358

И там, и на итальянке - частные случаи. Но, в принципе, задача лёгкая, если вспомнить, что любое нечётное натуральное число представимо в виде разности двух соседних квадратов.