Сигма-Алгебры

[Germount]

Доброго времени суток всем. Вобщем задачка должны быть примитивной, но уже давно ничем подобным не занимался, так что прошу помочь.
Итак
Пусть G1 и G2 непустые множества и $\alpha_1$ $\alpha_2$ сигма-алгебры над ними , f: G1 ->G2. Решить какие из следующих систем множеств $$\beta_i$ над $\Omega_i$ являются сигма-алгебрами.
1)

$$\Omega_1 =[ 0, \infty ) , \beta_1 := \left\{ \left[ a,b)| a\in \left[ 0, \infty) ,b \in(0, \infty) \right\} ; $$

2)

$$\Omega_2 =[ 0, \infty ) , \beta_2 := \left\{ A \subseteq \Omega_2 | \exists \ n \in N, A_1, ...A_n \in \beta_1, A= \cup_i_=_1^n A_i \right\} $$

3)

$$\Omega_3 =G_1 , \beta_3 := f^-^1 (\alpha_2)= \left\{ f^-^1 (A) | A\in \alpha_2 \right\} ; $$

4)

$$\Omega_4 =G_2 , \beta_4 := f (\alpha_1)= \left\{ f (A) | A\in \alpha_1 \right\} ; $$

Заранее спасибо.

[Brukvalub]

Germount писал(а):

... $$\beta_1$ порсто не содержит пустое множество и уже поэтому не является сигма алгеброй, так?

Не так, если a=b, то как раз получится пустое множество.

[Germount]

Совсем разучился думать
Значит является? Остальным требованиям соответствует, если я опять чего-нить не пропустил.

[Brukvalub]

Сначала осмыслите и выучите правильное определение сигма-алгебры, а потом докажите, что оба набора множеств сигма-алгебр не образуют.

[RIP]

$\exists$ пишется "\exists"
$\beta_1$ не замкнуто относительно дополнения
$\beta_2$ не замкнуто относительно счетного пересечения, например.
$\beta_3$ является сигма-алгеброй, проверяется по определению.
$\beta_4$ необязательно является сигма-алгеброй, например, если $f(G_1)\ne G_2$.
P.S. Подозреваю, что в первых примерах $\Omega=[0;\infty)$, а $b\in(0;\infty]$.

[Germount]

Теперь правильно..со скобками действительно напутал...
В общем всё понял(вроде как ). Спасибо всем большое.