Сегмент круга

[Andrey173]

Встретил интересную олимпиадную задачу, интересно какими способами можно её решить. Если у вас есть немного свободного времени, то напишите Ваше решения, буду благодарен)
Задача - В данный сегмент круга вписать прямоугольник наибольшей площади.

[age]

Естественно, что точка $A$ - пересечения $a$ - стороны и $h$ - высоты искомого прямоугольника будет лежать на кривой, выражаемой функцией $f(x)$ - кривой сегмента. Тогда, если полусторона $\dfrac a2$ - абсцисса, то высота $h=f\left(\dfrac a2\right)$ - ордината. Следовательно, нужен экстремум $\dfrac a2 f\left(\dfrac a2\right)$.

P.S. Так можно найти прямоугольник наибольшей площади под любой $f(x)$.

В случае с сегментом $f(x)=\sqrt{R^2-x^2}-k$, приравнивая производную к нулю, получаем уравнение:
$R^2-2x^2-k\sqrt{R^2-x^2}=0$, что даёт
$x=\dfrac14\sqrt{8R^2-2k^2\pm2k\sqrt{k^2+8R^2}}$ - полусторона искомого прямоугольника.
где $k=R\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)$

[Sonic86]

(Оффтоп)

в общем, просто матан

[Andrey173]

А без использования производных и матана?
Для доказательства хватит неравенства Коши)