еще одна задача на сходимость интеграла

[tavrik]

дано:
f, f', g - непрерывны на интервале

$$[a,+\infty)$$

причем, f(x) монотонна и ограничена на этом интервале.

$$\int_a^{+\infty}g(x) dx$$

- сходится

доказать сходимость интеграла:

$$\int_a^{+\infty}f(x)g(x) dx$$

мои мысли:
ограниченость f(x) -->

$$abs(f(x)) < M$$

интегрируемость g(x) --->

$$\int_a^{+\infty}g(x) dx$$

=S(действительносе число).
произведение разбить нельзя, на части нельзя, ведь неизвестно, что интегал по f сходится.
может нужно сделать интеграцию по частям, несмотря на то, что функции уже заданы?
надо же как-то воспользоваться информацией об ограниченности производной(равномерно непрерывна - и использовать признак Коши - т.е. эпсилон и тд.).
Либо сравнить со сходящимся интегралом. Только с каким? Мg(x) ?
Нужно ли в этом случае разделить интервалы на а<1, а>1

[Joker_vD]

Я чего-то не понял или это признак Абеля? Который про то, что произведение монотонной ограниченной функции на интегрируемую также интегрируемо?

[tavrik]

здесь вроде как лишние условия.
если даны функции, одна из которых интегрируема а вторая ограниченна и монотонна - то, по Абелю, этого уже должно хватить.
ну, и то, что это Абель - не помогает мне самому написать доказательство.

а зачем дана непрерывность?
и зачем непрерывность производной?

[ewert]

Это -- признак Абеля в чистом виде.

А непрерывности и дифференцируемости (ненужные) предложены, наверное, чтоб не мучиться с всякими формальностями. Тогда всё сводится просто к интегрированию по частям. Если $G$ -- первообразная от $g$, то

$\int\limits_0^Mf(x)g(x)\,dx=\int\limits_0^Mf(x)G'(x)\,dx=f(x)G(x)\Big|_0^M}-\int\limits_0^Mf'(x)G(x)\,dx.$

Предел внеинтегрального члена, очевидно, существует, и последний интеграл явно тоже сходится (по признаку Коши), поскольку

$\left|\int\limits_N^Mf'(x)G(x)\,dx\right|\leqslant\sup|G(x)|\cdot\int\limits_N^M|f'(x)|\,dx=\pm\sup|G(x)|\cdot\int\limits_N^Mf'(x)\,dx=$

$=\pm\sup|G(x)|\cdot\big(f(M)-f(N)\big)\to0$

при $N\to+\infty$.

[tavrik]

$$G(x)$$

вроде без значка проиводной должна быть.

-- Чт апр 28, 2011 15:04:59 --

a последнее выражение, почему стремится к нулю?
по признаку Коши, M должно быть больше N
или я ошибаюсь?