Какими были самые первые математические олимпиады?

[Xenia1996]

История проведения математических олимпиад насчитывает уже более ста лет. Поэтому неудивительно, что первые олимпиадные задачи значительно отличались от современных.
Предлагаю публиковать в этой теме "древние" олимпиадные задачи и обсуждать их сходства и различия с современными.

Итак, начнём!

Докажите, что $(n+1)^3\ne n^3+(n-1)^3$ при любом целом $n$.
(венгерская математическая олимпиада, 1909 г.)

Вряд ли в наши дни такая задача имела бы статус олимпиадной.
Что же изменилось за эти 102 года? Школьная программа? Интеллект учащихся? Требования образовательной системы?

Высказывайтесь, господа!

[alex1910]

Ничего не изменилось - просто олимпиады бывают разного уровня.

И началось все значительно раньше - в средневековье было принято вызывать коллег-математиков на "сражения" (Фибоначчи, Тарталья и.т.д) Полагаю, и в античности что-то подобное существовало.

[nnosipov]

Да, интересная тема. Помню, очень удивился в свое время, когда в сборнике задач международных математических олимпиад увидел такую задачу: доказать, что дробь $(21n+4)/(14n+3)$ несократима ни при каких натуральных значениях $n$ (это 1-я олимпиада, 1959 год, Румыния). Сейчас таким задачам место разве что на школьной олимпиаде для восьмиклассников (или на ЕГЭ, что ещё хуже). Кстати, Ксения, а у Вас тоже есть своё ЕГЭ? Какие там задачи?

[Sonic86]

Добавлю среднюю точку; задачи из Садовничего имеют средний уровень сложности. Так что налицо тенденция: уровень сложности растет.

alex1910 писал(а):

И началось все значительно раньше - в средневековье было принято вызывать коллег-математиков на "сражения" (Фибоначчи, Тарталья и.т.д) Полагаю, и в античности что-то подобное существовало.

Ага! Я об этом когда-то прочел в книге "За страницами учебника математики" Виленкина и Шибасовых

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #438862 писал(а):

Кстати, Ксения, а у Вас тоже есть своё ЕГЭ? Какие там задачи?

У нас есть психотест, некое подобие ЕГЭ. Вот несколько ссылочек (ни в коем случае не сочтите за рекламу!):

http://ru.kidum.com/

http://www.newton-iq.com/index.php?id=psihotest

http://psychometry.ru/

http://izrus.co.il/nepolitica/article/2 ... 12/61.html

http://forum2.souz.co.il/viewtopic.php? ... 84a2e8ccc8

[Xenia1996]

Вот ещё задача тех же лет:

Десятичная запись чисел $2^n$ и $5^n$ ($n$ - натуральное число) начинается с одной и той же цифры. С какой именно?

[nnosipov]

Понятно, что с тройки. А для бесконечно ли многих $n$ такое бывает?

P.S. Эта задача напомнила другую: сколько цифр получим, если соединим десятичные записи чисел $2^n$ и $5^n$?

[RIP]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #438945 писал(а):

А для бесконечно ли многих $n$ такое бывает?

Поскольку это равносильно неравенствам $\lg3\le\{n\lg2\}\le1-\lg3$, то среди $n\le x$ это случается в $\sim x\lg(10/9)$ случаях.

[nnosipov]

RIP в сообщении #439023 писал(а):

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #438945 писал(а):

А для бесконечно ли многих $n$ такое бывает?

Поскольку это равносильно неравенствам $\lg3\le\{n\lg2\}\le1-\lg3$, то среди $n\le x$ это случается в $\sim x\lg(10/9)$ случаях.

(Оффтоп)

Разумеется, тот же фокус, что и в задаче: доказать, что степени двойки могут начинаться с любой наперёд заданной комбинации цифр.

[Xenia1996]

Вот ещё накопала задачку:

Школьник едет на олимпиаду на метро, платит рубль и получает сдачу. Доказать, что если он если он обратно поедет на трамвае, то он сможет уплатить за проезд без сдачи. (Примечание. Проезд в метро стоил 50 коп., в трамвае — 30 коп. В обращении находились монеты достоинством в 1, 2, 3, 5, 10, 15 и 20 коп.)

[alex1910]

Xenia1996 в сообщении #439106 писал(а):

Вот ещё накопала задачку:

Школьник едет на олимпиаду на метро, платит рубль и получает сдачу. Доказать, что если он если он обратно поедет на трамвае, то он сможет уплатить за проезд без сдачи. (Примечание. Проезд в метро стоил 50 коп., в трамвае — 30 коп. В обращении находились монеты достоинством в 1, 2, 3, 5, 10, 15 и 20 коп.)

50 и 30???? Может, все-таки, проезд стоил 5 и 3 копейки соответственно?

[Xenia1996]

alex1910 в сообщении #439144 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #439106 писал(а):

Вот ещё накопала задачку:

Школьник едет на олимпиаду на метро, платит рубль и получает сдачу. Доказать, что если он если он обратно поедет на трамвае, то он сможет уплатить за проезд без сдачи. (Примечание. Проезд в метро стоил 50 коп., в трамвае — 30 коп. В обращении находились монеты достоинством в 1, 2, 3, 5, 10, 15 и 20 коп.)

50 и 30???? Может, все-таки, проезд стоил 5 и 3 копейки соответственно?

До 1961-го года были другие деньги
А в 61-ом всё поделили на 10.
Поэтому стало 3 копейки и 5 копеек.