Бусинка на волнообразной проволоке (задача из Савченко О.Я.)

[inkerman]

Встретилась вот такая задачка из сборника Савченко О.Я. "Задачи по физике"

Цитата:

2.3.29*. Бусинка массы m скользит по вертикально расположенному волнообразному участку гладкой проволоки. Длина волны много меньше длины участка и много больше размеров бусинки, а длина проволоки на участке в k раз больше его протяженности. С какой средней силой действует бусинка на этот участок проволоки?

Вроде авторы подразумевают что проволоку можно "развернуть" и рассматривать как наклонную прямую проволоку. Тогда ответ сходится. Но вызывает вопрос законность такой трансформации проволоки, будет ли это эквивалентно?
Кроме того, будет же еще давление на проволоку из-за центростремительного ускорения, причем скорость будет постоянно расти (проволока гладкая) и сила реакции тоже будет расти с каждой волной проволоки.

[ewert]

Книжку не читал и потому, строго говоря, не знаю, что имели в виду авторы. Но думаю, что они её не распрямляли физически. Просто под "средней силой" они понимали среднюю вертикальную составляющую силы (средняя горизонтальная уж в любом понимании равна нулю). А усреднение понималось в том смысле, что именно такая сила вызывала бы видимо равноускоренное падение по вертикали (наблюдаемое "с большого расстояния", т.е. с усреднением по витку проволоки).

Вообще-то оно равноускоренным, формально говоря, не будет. Однако с ростом скорости её изменения на витке будут всё меньше и меньше по сравнению со средней по витку скоростью. И поскольку проволока очень, ну просто очень жутко длинная -- можно считать, что падение всё-таки в среднем равноускоренно.

Так вот: если $\Delta s$ -- длина витка проволоки , $v$ -- средняя на данном витке скорость (вдоль проволоки), $\Delta v$ -- полное изменение скорости при проходе всего витка, $\Delta t$ -- время прохождения этого витка и $\Delta y$ -- расстояние между концами витка по вертикали, то $\Delta s=v\,\Delta t$ и (по закону сохранения энергии) $\frac12\Delta v^2=g\,\Delta y$. А это -- ровно те же дифференциальные уравнения, что и задающие скольжение вдоль наклонной плоскости длины $S$ и с перепадом высот $Y$ (равными длине и высоте проволоки соответственно). Отсюда и результат.

[dovlato]

Считать не пытался, но, думается, авторы имели в виду такую модель: представим себе спираль с постоянным шагом и постоянным радиусом, по которой скользит эта бусина. Сила реакции спирали, очевидно, постоянна. Тогда как проекция реакции на вертикальную плоскость, проходящую через ось воображаемой спирали, испытывает синусоидальные колебания. Правда, при этом остаётся под вопросом соотношение между длиной спирали - и длиной её проекции на верт. плоскость.

[ewert]

Да они наверняка имели в виду проекцию не на вертикальную плоскость, а просто на вертикальную ось. Тогда случай со спиралью просто тривиален. А с неспиралью получается то же самое, но после усреднения по периоду проволоки. И, кстати, спираль они не имели в виду совершенно точно: спираль -- она не "волнообразна".

[inkerman]

Вчера ехал домой и сообразил то же решение что и ewert. Правда ушло у меня на задачку поболее времени (порядка суток)
Всем спасибо! Ответ сошелся, все нормально.