Альтернанс для наипростейшей дроби

[Falex]

Пусть на отрезке $[a,b]$ задана непрерывная функция $f(x)$.Тогда для того,чтобы
некоторая наипростейшая дробь $\rho _n^* (x) = \sum\nolimits_{k = 1}^n {\frac{1}{{x - t_k }}} $
($t_k$ - конкретные числа $R$) была наипростейшей дробью,наименее уклоняющейся от $f(x)$,
необходимо и достаточно,чтобы на $[a,b]$ нашлась по крайней мере одна система из $n+1$ точек $x_j$,
$a \le x_1 < x_2 < \ldots < x_{n+1} \le b$,в которых разность $r_n(x)=f(x)-\rho _n^* (x)$
1)поочередно принимает значения разных знаков;
2)достигает по модулю наибольшего на $[a,b]$ значения,т.е. в точках $x_j$ должны выполняться условия:

$$ r_n(x_1)=-r_n(x_2)=r_n(x_3)=\ldots\ = (-1)^{n+1} r_n(x_{n+1}) $$

или

$$ \rho _n^* (x_j ) - f(x_j ) = ( - 1)^{j + 1} E_n (f)\quad \forall j = 1, \ldots ,n + 1, $$

где

$$ E_n (f) = \mathop {\max }\limits_{[a,b]} \left| {f(x) - \rho _n (x)} \right| $$

Система таких точек $\left\{ {x_j } \right\}_{j = 1}^{n + 1} $,в которых имеют место эти равенства,называется чебышевским альтернансом.



Допустим,что такая наипростейшая дробь наилучшего приближения для $f(x)$ существует.Проблема заключается в том,чтобы доказать,что точек чебышевского альтернанса хотя бы $n+1$ (т.е. $\ge (n+1)$).
Я начал с разложения дроби $\frac{1}{{x - t_k }}$
в окрестности нуля:

$$ \frac{1}{{x - t_k }} = - \frac{1}{{t_k }}\left( {\frac{1}{{1 - \frac{x}{{t_k }}}}} \right) = - \frac{1}{{t_k }}\sum\nolimits_{j = 0}^\infty {\left( {\frac{x}{{t_k }}} \right)^j } $$

и в окрестности бесконечности:

$$ \frac{1}{{x - t_k }} = \frac{1}{x}\left( {\frac{1}{{1 - \frac{{t_k }}{x}}}} \right) = \frac{1}{x}\sum\nolimits_{j = 0}^\infty {\left( {\frac{{t_k }}{x}} \right)^j } $$

ну и на этом остановился.Больше ничего в голову не приходит