Линейно зависимые столбцы в Кронекеровом произведении

[spk]

Всем добрый вечер!

У меня есть "урезанная" матрица Вандермонда $V = \left( \begin{array}{ccccc} 1 & \alpha & \alpha^2 & \ldots & \alpha^{n-1} \\ 1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \ldots & \alpha^{2n - 2} \\ & & \vdots & & \\ 1 & \alpha^{n-1} & \alpha^{2n-2} & \ldots & \alpha^{(n-1)^2} \end{array} \right)$, где $\alpha$ - это $n$-ый корень из единицы в некотором расширенном поле $GF(2^r)$. Таким образом, сумма всех столбцов $V$ обращается в нуль. И нет другой комбинации столбцов из $V$, чтобы ее сумма над $GF(2)$ обращалась также в нуль.

Далее я рассматриваю Кронекерово произведение $V$ со строкой $\mathbf{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_{l-1})$ над тем же самом полем $GF(2^r)$. Я знаю, что все элементы $\mathbf{a}$ линейно независимы над $GF(2)$.

В конце я рассматриваю Кронекерово произведение $P = V \otimes \mathbf{a}$. Меня интересует, верна ли следующая гипотеза: не существует таких $p < n$ столбцов в $P$, чтобы их сумма над $GF(2)$ равнялась нулю.

Спасибо!