Несколько хороших корней

[Sender]

Руст в сообщении #442596 писал(а):

Как я сказал ранее все зависит от того, сколько и какие коэффициенты заданы. В случае только указанных выше $a_0,a_1,a_n$ нельзя в общем случае выразить корни через радикалы.

Если известно, что все коэффициенты целые, в том числе и те, что не указаны явно, выражение для корней через радикалы всегда существует. Как его искать - это уже другой вопрос.

[Руст]

Цитата:

Если известно, что все коэффициенты целые, в том числе и те, что не указаны явно, выражение для корней через радикалы всегда существует.

Во первых причем тут их целость, когда речь идет о выражении через радикалы от них.
Во вторых это не верно. Читайте теорию Галуа.

[staric]

Руст в сообщении #442621 писал(а):

Читайте теорию Галуа.

Ну, Галуа-то говорил, что кое-когда и при n>4 есть решения в радикалах. Быть может, это тот самый случай?

Я не зря предложил попробовать n=2011. Советую начать с нечетных n=2k+1. Таки да, считаем, все коэффициенты целые и известные (но, уж конечно, не любые, а такие чтобы). Хотя для решения, близкого к изложенным, хватит и $a_0, a_1, a_2, a_k, a_{k+1} $ (это что касается "другого вопроса" Senderа ).

[Sender]

Цитата:

Во первых причем тут их целость, когда речь идет о выражении через радикалы от них.
Во вторых это не верно. Читайте теорию Галуа.

Возможно, я некорректно выразился. Я хотел сказать следующее: если нам известно, что все коэффициенты полинома целые, а его корни составляют геометрическую прогресию, эти корни всегда являются числами, выражающимися через радикалы от рациональных чисел.

[Руст]

Это верно. Только я подозреваю, что достаточно квадратных корней для определения $q$, более того $q+\frac 1q \in Q$. Вроде понятно как доказать, но мне охота возиться этим.