вычислить значение(интеграл, первообразная)

[tavrik]

доказать сходимость и вычислить значение интеграла:

$$\int_{-\infty}^{+\infty} (f(x+1)-f(x)) dx$$

если дано, что f - непрерывна и существуют следующие два передела:

$$\lim_{x\to\infty} f(x) = A$$

$$\lim_{x\to-\infty} f(x) = B$$

если функция непрерывна то у нее существует первообразная - F.
разделил на два интеграла(до 0 и от 0).
дальше у меня пошел какой-то бред...то выходило

$$\int_{-\infty}^{+\infty} (f(x+1)-f(x)) dx$$

= 2 F(1)
то вообще 2x какой-то.
в принципе, при x стремящемся к бесконечности - F(x) = Ax и F(x+1) = Ax+x
??

[Полосин]

1. Запишите определение несобственного интеграла (через предел собственных интегралов).
2. Разбейте собственный интеграл на разность двух интегралов и сделайте очевидную замену в одном из них.
3. Найдите предел, воспользовавшись непрерывностью подынтегральной функции.

[tavrik]

вышло 0
после поэтапных шагов 1,2 и 3
может ли быть такое

[Dan B-Yallay]

$$\int_0^s f(x+1)-f(x) \, dx=\int_0^1 f(x)dx +\underbrace{\int_{s}^{s+1}f(x)dx}_{\to A}$$

Когда будете расписывать интеграл $( -\infty, 0]$, то $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx $ сократится

[Полосин]

tavrik, приведите свое решение.

[ИСН]

Можете не приводить, я его тоже нашёл (в смысле, которое даёт 0). Теперь давайте вместе подумаем, почему это бред и как надо правильно.

-- Пн, 2011-04-25, 20:21 --

Значит так. Допустим, функция наша - арктангенс. Есть у неё пределы? Есть. Подходит она под условие? Вполне. Чем ещё она хороша? Она монотонна. То есть под интегралом стоит строго положительное выражение. Может ли интеграл от него быть нулём? Ха!

[tavrik]

да, если А>B>0 то никак не выйдет 0.
но зато, если взять частный случай А=-B это может натолкнуть на верный ответ.

валли, сэнкс. ваш переход понял(ну, минут за 5 )

[Joker_vD]

А я вот, к стыду своему, в переход Dan B-Yallay так и не врубился.

Но тут ведь вроде как достаточно заменить несобственный интеграл на предел собственного, воспользоваться формулами Ньютона-Лейбница и конечных приращений, после чего спокойно вычислить предел? Или я упускаю из виду какую-то детальку, которая все портит?

[Dan B-Yallay]

Joker_vD

(Оффтоп)

Я пользовался следующим определением несобственного интеграла: $\displaystyle \int_{\infty}^\infty \stackrel{\rm def} {=}\int_{-\infty}^c+ \int_c^\infty $ если только оба несобственных интеграла в правой части сходятся/существуют (для любого $c$).
Посему (лимиты опускаю - лень)

$$\begin{align*}\int_0^s f(x+1)-f(x) \, dx & =\int_0^{s}f(x+1)dx - \int_0^s f(x)dx \qquad = \qquad \int_1^{s+1}f(x)dx - \int_0^s f(x)dx=\\ &=\int_1^s + \int_s^{s+1}-\int_0^1 -\int_1^s \qquad = \qquad -\int_0^1 f(x)dx +\underbrace{\int_{s}^{s+1}f(x)dx}_{\to A} \end{align*}$$

Ну и соответственно для второго интеграла : $\displaystyle \int_0^1 f(x)ds-\underbrace{\int_{t-1}^t f(x)dx}_{\to B} $. Никакого особого перехода нет.

[ewert]

Полосин в сообщении #438466 писал(а):

3. Найдите предел, воспользовавшись непрерывностью подынтегральной функции.

Кстати, непрерывность в этом месте не нужна. Достаточно просто существования предела (ну и локальной интегрируемости, конечно).

[Joker_vD]

Dan B-Yallay

(Оффтоп)

А, ясно. Я просто привык к $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx = \lim\limits_{\substack{{a\to-\infty} \\ {b\to+\infty}}} \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx$, и поэтому не сообразил.

[ewert]

Joker_vD в сообщении #438767 писал(а):

Я просто привык к $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx = \lim\limits_{\substack{{a\to-\infty} \\ {b\to+\infty}}} \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx$,

Это одно и то же: двойной предел суммы равен сумме пределов слагаемых.

Только я не понимаю, зачем так длинно, когда всего-то навсего

$\int\limits_{-N}^{M}\big(f(x+1)-f(x)\big)\,dx=\int\limits_{-N+1}^{M+1}f(x)\,dx-\int\limits_{-N}^{M}f(x)\,dx=$

$=\int\limits_{M}^{M+1}f(x)\,dx-\int\limits_{-N}^{-N+1}f(x)\,dx\;\mathop{\longrightarrow}\;A-B,$

при $M,N\to+\infty$, поскольку $\left|A-\int\limits_{M}^{M+1}f(x)\,dx\right|\leqslant 1\cdot\sup\limits_{x>M}|A-f(x)|\to0$ из-за $f(x)\to A$ (и безо всякой непрерывности), и второй интеграл аналогично.