Интеграл

[maxmatem]

Решал задачу по теории случайных процессов, и задача свелась к нахождению вот такого интеграла

$\[ \int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{a^2 e^{i\omega \tau } \omega ^2 d\omega }} {{a^2 \omega ^2 + 1}}} \] $ где $a=const$

Честно говоря, думается надо вычетами, но может ещё как-то можно?

[Полосин]

В таком виде интеграл расходится.
P.S. А чем вычеты плохи?

[maxmatem]

да собственно ничем....просто уже давно ими не пользовался.Кстати а почему расходится?

[Полосин]

Посмотрите на него внимательно.

[ewert]

Не, ну почему так уж сразу и расходится. Выйдет некая дельта-функция плюс ещё нечто классическое.

А насколько это трюкачество полезно -- зависит от того, для чего это нужно.

[Полосин]

"Можно и так", - согласился вождь.

[maxmatem]

Итак, вот что я думаю. рассмотри функцию $\[ f(z) = \frac{{a^2 e^{i\omega \tau } \omega ^2 }} {{a^2 \omega ^2 + 1}} \]$. Она имеет два простых полюса $\[ \begin{gathered} \omega _1 = \frac{i} {a} \hfill \\ \omega _2 = - \frac{i} {a} \hfill \\ \end{gathered} \] $

тогда интеграл равен сумме вычетов в соответствующих полюсах? и причём тогда дельта функция?
$\[ \int\limits_{ - \infty }^\infty {e^{i\omega \tau } d\omega } = 2\pi \delta (\tau ) \] $ но где это применить?

[Полосин]

Нет, интеграл не равен сумме вычетов в этих полюсах. Во-первых, он-таки расходится, поэтому сначала нужно выделить сингулярную часть (ей соответствует целая часть рациональной дроби в подынтегральной функции), которая даст дельта-функцию. Затем нужно воспользоваться леммой Жордана. Откройте любой учебник по ТФКП и выясните, как это делается.