Вычислить предел от суммы...

[bundos]

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln^2n}{n}\sum\limits_{k=2}^{n-2}\frac1{\ln k \ln (n-k)}$

[Sonic86]

Сумму заменить на интеграл, интеграл на отрезке заменить удвоенным интегралом на полуотрезке, оценить один из логарифмов в знаменателе на этом полуотрезке - оттуда выйдет все просто.

(Оффтоп)

недавно такой сам решал. Хотя м.б. и еще как-то можно...

[bundos]

Так в том то и проблема, что я незнаю на какой интеграл заменить

[Sonic86]

а как обычно:
$\int\limits_{a}^{n-a} \frac{dx}{\ln x \ln (n-x)}$

-- Вс апр 24, 2011 15:41:59 --

$a$ - неважно какое число, лишь бы константа.

[ewert]

$k\in[n\delta;\;n(1-\delta)]\ \ \Rightarrow\ \ \ln k,\;\ln(n-k)\in[\ln n+\ln\delta;\;\ln n+\ln(1-\delta)]\ \ \Rightarrow\ \ \dfrac{\ln n}{\ln k}\cdot\dfrac{\ln n}{\ln (n-k)}\in\;\ldots\;,$
где $\delta$ может быть зафиксирована сколь угодно малой и т.д.

(интеграл тут лучше не писать -- ничего, кроме усложнения логики, это не даст)

[Sonic86]

Эге, надо запомнить.

(Оффтоп)

переход от суммы к интегралу облегчает решение задачи чисто психологически

[bundos]

Я что-то совсем запутался....

-- Вс апр 24, 2011 13:53:20 --

Сначала бы хотелось разобраться с интегралом
Sonic86
Что за такая константа $a$? И я что-то я неособо понял ваш переход от суммы к интегралу...

[Sonic86]

Да делайте как ewert показал:
$\sum\limits_{k=2}^n = \sum\limits_{k=2}^{\delta n} + \sum\limits_{k=\delta n}^{(1- \delta) n} + \sum\limits_{k=(1- \delta) n}^{\delta n}$
Первая и третья суммы слишком маленькие, а для средней делается оценка, как написано выше.

Я у себя опять использовал то, что т.к. функция $f(k)=\frac{1}{\ln k \ln (n-k)}$ растет медленно, то $\sum\limits_{k=2}^n \frac{1}{\ln k \ln (n-k)} \sim \int\limits_{a}^{n-a} \frac{dx}{\ln x \ln (n-x)}$
соответствующую теорему я, опять же, не знаю
Можно взять $a=2$. Легко доказать, что можно взять $a=10; 100$ и т.п. - разницы-то нет, постоянное значение не влияет на асимптотику: $\int\limits_a^{\frac{n}{2}}fdx = \int\limits_a^{b}fdx+ \int\limits_b^{\frac{n}{2}}fdx = C + \int\limits_b^{\frac{n}{2}}fdx \sim \int\limits_b^{\frac{n}{2}}fdx$

[ewert]

Sonic86 в сообщении #438256 писал(а):

переход от суммы к интегралу облегчает решение задачи чисто психологически

Это правда, но приходится возиться с корректностью такого перехода.

Нет, ну можно, конечно. Только тогда нужно не предельный переход делать, а двусторонние оценки. Типа:

$\int\limits_2^{\frac n2+1}\dfrac{dx}{\ln x\;\ln(n-x)}<\sum\limits_{k=2}^{\frac n2}\dfrac{1}{\ln k\;\ln(n-k)}<\int\limits_1^{\frac n2}\dfrac{dx}{\ln x\;\ln(n-x)}$

в силу монотонности подынтегральной функции (с доказательством которой, кстати, тоже некоторая морока). И ещё пару заклинаний насчёт чётных и нечётных $n$.

[bundos]

ewert
Это типа аналогия доказательства интегрального признака сравнения? Я правильно понял?

[ewert]

bundos в сообщении #438288 писал(а):

Это типа аналогия доказательства интегрального признака сравнения?

Не аналогия, а развитие. Сама пара неравенств взята из того доказательства, и очень часто (вот как здесь) такие неравенства позволяют получить и асимптотику.

[bundos]

ewert
Понял, спасибо!