Инвариантное подпространство и собственные векторы

[lightbulb]

Пусть $\mathcal{Y} \in \mathbb{R}^n$ — инвариантное линейное подпространство для оператора, заданного матрицей $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$. Доказать, что для $\mathcal{Y}$ существует базис из собственных векторов $A$.

Если $\text{dim} \mathcal{Y} = 1$, то выберем произвольный базис $\mathcal{Y} = \text{span} \{ x_1 \}$. Тогда, так как $\mathcal{Y}$ инвариантно, $A x_1 \in \mathcal{Y}$ и его можно представить в виде линейной комбинации векторов из базиса $A x_1 = \lambda x_1$, откуда следует, что $x_1$ и есть собственный вектор.

Если $\text{dim} \mathcal{Y} = 2$… что дальше делать?

[mihailm]

есть же операторы в которых не хватает независимых собственных векторов

[lightbulb]

В этом случае $\text{dim} \mathcal{Y} < n$.

[mihailm]

возьмем за это подпространство все $ \mathbb{R}^n$

[caxap]

lightbulb в сообщении #438150 писал(а):

Доказать, что для $\mathcal{Y}$ существует базис из собственных векторов $A$.

Это не верно.

(Контрпример)

Пусть $A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ в базисе $(e_1,e_2,e_3)$. $\mathcal Y$ равно линейной оболочке $e_1,e_2$.

Если в $\mathcal Y$ есть базис из СВ, то матрица ограничения $A$ на $\mathcal Y$ (в базисе из этих СВ) будет диагональной. Но это не обязано быть так.

-- 24 апр 2011, 00:19 --

Вы, видимо, какое-то условие пропустили.

[lightbulb]

Согласен с контрпримерами.

Это упражнение 11.2.1 из Parlett, The symmetric eigenvalue problem http://goo.gl/vzUwW Там предлагают воспользоваться спектральной теоремой: $A = S \Lambda S^{-1}$, но я совершенно не вижу как её применить.

Тогда давайте введём условие, что $A$ подобна диагональной матрице $\text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$. В этом случае можно выбрать $n$ линейно-независимых собственных векторов. Так ведь?

[caxap]

Конечно. Возьмём тот базис, где она диагональна...

-- 24 апр 2011, 00:48 --

Рекомендую для разных вещей использовать разные буковки. Например, $n$ у вас сильно перегружен.

[lightbulb]

В смысле, выберем базис для $\mathcal{Y}$ такой, что сужение оператора $A$ на $\mathcal{Y}$ выражается дианогальной матрицей? Эмм, и что дальше?

Про $n$ не понял: он только в размере матрицы участвует ведь.

[lightbulb]

С другой стороны, в записи спектральной теоремы $A|_\mathcal{Y} = S_1 \Lambda_1 S_1^{-1}$ матрицу $S_1$, столбцами которой являются собственные векторы, можно рассматривать как матрицу, задающую коэффициенты смены базиса. Отсюда следует, что базисные векторы являются собственными? Это слишком просто, я, должно быть, что-то упустил.

[caxap]

lightbulb
Я ответил ровно на то, что вы спросили:

lightbulb в сообщении #438155 писал(а):

Тогда давайте введём условие, что $A$ подобна диагональной матрице $\text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$. В этом случае можно выбрать $n$ линейно-независимых собственных векторов. Так ведь?

Да, $n$ (!) линейно-независимых СВ есть. Они будут векторами того базиса, где $A$ диагональна. Вы возможно не $n$ имели в виду, а размерностью $\mathcal Y$ и искать СВ вам нужно в этом подпространстве. Тогда ответ -- нет.

(Вот пример)

Двумерное пространство, базис $e_1,e_2$. Оператор $\mathscr A$ такой, что $\mathscr A e_1=2 e_1$, $\mathscr A e_2=3 e_2$. Его матрица в этом базисе $A=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$. Подпространство $\mathcal Y$ -- линейная оболочка вектора $e_1+e_2$. Для него базиса из СВ нет.

-- 24 апр 2011, 09:30 --

Вообще, очевидно, что для того, чтобы в подпространстве $\mathcal Y$ нашелся базис из СВ необходимо, чтобы 1) количество линейно-независимых СВ было не меньше размерности $\mathcal Y$ (иначе их просто не хватит); 2) $\mathcal Y$ являлось линейной оболочкой части этих СВ.

[ewert]

lightbulb в сообщении #438155 писал(а):

The symmetric eigenvalue problem http://goo.gl/vzUwW Там предлагают воспользоваться спектральной теоремой: $A = S \Lambda S^{-1}$

А на слово "symmetric" Вы не обратили внимания?

Так вот обратите и потом: 1) прекратите вводить народ в заблуждение; 2) воспользуйтесь симметричностью сужения.

[caxap]

lightbulb
Прошу моё прошлое сообщение игнорировать. Я там бред писал.

-- 24 апр 2011, 15:26 --

Да и не только прошлое

[lightbulb]

caxap
С примером я не согласен, $\mathcal{Y}$ не инвариантно для $\mathcal{A}$. В общем, игнорируем.

ewert
Знаете, в этой книге рассматриваются не только симметричные матрицы. Но давайте я с вами соглашусь и введём ещё условие, что $A$ симметрична. Что нам это даёт? Все СЧ действительны, все СВ из $\mathbb{R}^n$.

[ewert]

lightbulb в сообщении #438348 писал(а):

Но давайте я с вами соглашусь и введём ещё условие, что $A$ симметрична. Что нам это даёт?

Лучше говорить не о матрице, а об операторе умножения на матрицу. Симметричность оператора $A$ равносильна тому, что $(A\vec x,\vec y)=(\vec x,A\vec y)$ для любых $\vec x,\vec y$, и не важно, какой конкретно формулой задаётся скалярное произведение -- лишь бы оно было зафиксировано. Но тогда сужение оператора на инвариантное подпространство автоматически также оказывается симметричным оператором. И, как и любой симметричный оператор, имеет в этом подпространстве полный набор собственных векторов. А собственный вектор сужения -- это и собственный вектор исходного оператора.

[lightbulb]

Спасибо большое, я понял доказательство.