Помогите решить триг. уравнение.

[amonrah]

Здравствуйте, помогите решить пожалуйста:

$2*cos^2(x)+sin(x)-1=0$

Вообще-то мне нужно найти следующие:

$2*cos^2(x)+sin(x)-1<0$

но сперва нужны корни, а у меня не получается их найти.

[ewert]

Сверните в произведение $\cos4x+\sin x$, перейдя с помощью формулы приведения от косинуса к синусу или, наоборот, от синуса к косинусу.

[svv]

Выразите $\cos^2 x=1-\sin^2 x$ и получите квадратное уравнение относительно $\sin x$.

[amonrah]

ewert в сообщении #438020 писал(а):

Сверните в произведение $\cos4x+\sin x$, перейдя с помощью формулы приведения от косинуса к синусу или, наоборот, от синуса к косинусу.

Спасибо, я неправильно маленько записал уравнение, перепутал cos(2x) с cos(х), но теперь исправил. Мысль правильная вообще я его так и решал, но почему-то потерял много корней, видно был переход к уравнению следствию.

Я решил его следующим образом:

$2*cos^2(x)+sin(x)-1=0$

$cos(2x)+sin(x)=0$

По формуле: $sin(\frac{Pi}{2}+2x) = cos(2x)$ пришёл к:

$sin(\frac{Pi}{2}+2x)+sin(x)=0$

Затем применил формулу: $sin(a)+sin(b)=2*sin(\frac{(a+b)}{2})*cos(\frac{(a-b)}{2})$

По-моему нашёл здесь свою первую ошибку, забыл поделить обе скобки на два :)..

Получаю:

$2*sin(\frac{(\frac{Pi}{2}+3x)}{2})*cos(\frac{(\frac{Pi}{2}+x)}{2})=0$

Затем: $sin(\frac{(\frac{Pi}{2}+3x)}{2})=0$ или $cos(\frac{(\frac{Pi}{2}+x)}{2})=0$

отсюда два решения:

$x=\frac{Pi}{2}$ и $x=-\frac{Pi}{2}$

Но всё ровно что то не так...

[svv]

$\sin x=t,\,\,\, \cos^2 x = 1-t^2$

$2\cos^2 x+\sin x-1=0$
$2(1-t^2)+t-1=0$
$(1-t)(1+2t)=0$
$t_1=1, t_2=-1/2$

[amonrah]

svv в сообщении #438035 писал(а):

$\sin x=t,\,\,\, \cos^2 x = 1-t^2$

$2\cos^2 x+\sin x-1=0$
$2(1-t^2)+t-1=0$
$(1-t)(1+2t)=0$
$t_1=1, t_2=-1/2$

спасибо, так его решать и надо, я чёта запарился и не увидел очевидного.