доказать утверждение, используя теорему Гамильтона-Кели

[Imperator]

Теорема Гамильтона-Кели.
Любая квадратная матрица $A$ удовлетворяет своему характеристическому уравнению, то есть если $c(\lambda)=\det(A-\lambda I),$ то $c(A)=0.$

Используя эту теорему, надо показать справедливость следующего утверждения.
Пусть $A$ -- квадратная матрица 2 на 2 с собственными значениями $\lambda_1,\lambda_2$, а $t$ -- скаляр. Тогда $e^{At}=\alpha_0\cdot I+\alpha_1\cdot A,$ где $\alpha_0$ и $\alpha_1$ удовлетворяют системе
$ \left\{ \begin{array}{l} e^{\lambda_1t}=\alpha_0+\alpha_1\lambda_1 ,\\ e^{\lambda_2t}=\alpha_0+\alpha_1\lambda_2. \end{array} \right. $

[ewert]

Я лично ничего не понял. А кто такая вообще матричная экспонента?... -- по-моему, она идёт гораздо, гораздо позже теоремы Гамильтона-Кэли.

[Dan B-Yallay]

Или же теорема Гамильтона-Кэли идет намного раньше экспоненциальных матриц.

(Оффтоп)

Я бы попробовал так:

Imperator в сообщении #437874 писал(а):

Пусть $A$ -- квадратная матрица 2 на 2 с собственными значениями $\lambda_1,\lambda_2$, а $t$ -- скаляр. Тогда

$$\begin{align*} c(\lambda)=\lambda_1\lambda_2 - (\lambda_1+\lambda_2) \lambda+\lambda^2 \\ c(A)& =\lambda_1\lambda_2 I - (\lambda_1+\lambda_2) A+A^2 =0 \quad \Rightarrow \\ A^2 & = -\lambda_1\lambda_2 I + (\lambda_1+\lambda_2) A\\ A^3 &= -\lambda_1\lambda_2 A + (\lambda_1+\lambda_2)A^2=-\lambda_1\lambda_2 A +(\lambda_1+\lambda_2)(-\lambda_1\lambda_2 I + (\lambda_1+\lambda_2) A)\\ \ldots\\ A^n& = k I+m A, \quad k =k(\lambda_1, \lambda_2), \ m=m(\lambda_1,\lambda_2) && (*) \end{align*}$$

То есть любая степень $A^n$ матрицы выражается через линейную комбинацию вида $(*)$. Поэтому

$$e^{At}=I+At+\dfrac{A^2t^2}{2!}+\dfrac{A^3 t^3}{3!}+... = \sum_{k=1}^\infty \dfrac{ A^kt^k}{k!} = \alpha_0(t) I + \alpha_1(t) A $$

Надо аккуратно собрать эти ряды $\alpha_0(t), \ \alpha_1(t)$ из степеней $t, \ \lambda_1,\ \lambda_2$ при $I$ и при $A$, да показать что они (ряды) удовлетворяют указанной системе уравнений.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

А можно просто тупо подставить диагональную матрицу $\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$ в уравнение $e^{At}=\alpha_0 I+ \alpha_1 A$ и убедиться в верности системы

[Imperator]

ewert, это задание из дипломной работы.
Dan B-Yallay, я делал примерно так же, как Вы в своем первом сообщении, то есть понижал степени выше первой матрицы $A,$ используя при этом ту теорему. Но вышло довольно громоздко, поэтому решил, что есть способ попроще.