Ковариация случайных величин.

[gris]

СВ $Z$ равномерно распределена на $[-2;0]$.
Найти ковариацию и коэффициент корреляции СВ $X=Z-1$ и $Y=2-Z$.

Можно ли сразу сказать, что Коэффициент корреляции равен -1 или надо как-то это расписывать.

Коэффициент ковариации считать по формуле $E(XY)-E(X)E(Y)$?

Или можно записать, что это просто минус корень из произведения дисперсий, то есть минус дисперсия $Z$?

[--mS--]

Странные вопросы задаёте, батенька . Зависит от содержания курса и въедливости преподавателя.

Например, мне бы хотелось сразу увидеть что-то такое: $\textrm{cov}(X,Y)=-\textrm{cov}(Z,Z)=-\mathsf DZ=-1/3$. По свойствам ковариации.

Либо, это уже дело вкуса, $\rho(X, Y)=-1$ по свойствам коэффициента корреляции (плюс пара слов про существование и невырожденность дисперсий), и ковариация - минус корень из произведения дисперсий.

К сожалению, редкие студенты ищут простых путей Типичное же решение в рамках типичного курса типичного вуза - подставить всё в формулу $\textrm{cov}(X,Y)=\mathsf EXY -\mathsf EX\mathsf EY$, перемножить и сократить что придётся.

[gris]

Большое спасибо!
Собственно, вопрос и был методического плана. И часто вовсе не студенты не ищут простых путей. Очень многие из них усваивают материал настолько, что видят решения или даже ответы сразу, но боятся отойти от стандартной схемы.
"Не надо умничать!" — и в школе, и в ВУЗе. Хотя на письменном экзамене или зачёте пояснения, конечно, необходимы, дабы не обвинили в грехе.

[nnosipov]

gris в сообщении #437530 писал(а):

СВ $Z$ равномерно распределена на $[-2;0]$.
Найти ковариацию и коэффициент корреляции СВ $X=Z-1$ и $Y=2-Z$.

Можно ли сразу сказать, что Коэффициент корреляции равен -1 или надо как-то это расписывать.

Коэффициент ковариации считать по формуле $E(XY)-E(X)E(Y)$?

Или можно записать, что это просто минус корень из произведения дисперсий, то есть минус дисперсия $Z$?

Я никогда не преподавал теорию вероятностей, но с давних времён отложилось, что коэффициент корреляции это что-то вроде косинуса угла между векторами. Векторы $X$ и $Y$, очевидно, противонаправлены, поэтому ответ $-1$ столь же очевиден.

[--mS--]

gris в сообщении #437611 писал(а):

Большое спасибо!
Собственно, вопрос и был методического плана. И часто вовсе не студенты не ищут простых путей. Очень многие из них усваивают материал настолько, что видят решения или даже ответы сразу, но боятся отойти от стандартной схемы.

Очень может быть, что и так. На самом деле в данной задаче я бы и против тупой подстановки в формулу не возражала. В конце концов линейную зависимость $X$ от $Y$ далеко не все могут заметить , а знание свойств матожиданий/дисперсий - тоже дело полезное.