Инвариантное множество

[Gortaur]

Немного подумав, решил переформулировать свой вопрос. Дан квадрат $Q = [0,1]^2$ и последовательность прямоугольников $(G_i)_{i=1}^n$ со сторонами, параллельными осям таких, что $G_i\subset Q$ и

$$ \mu(G_i\cap G_j) = 0. $$

Определим множество

$$ G = \bigcup\limits_{i=1}^n G_i. $$

Множество $A'$ называется инвариантным, если для любого $x\in A$ если $(x,y)\in G$, то $y\in A'$. Как по-умному проверить, есть ли для данного отрезка $A\subset [0,1]$ инвариантное подмножество $A'$ и как построить наибольшее такое множество, если оно все же есть?

[Хорхе]

Что такое $G$? Объединение прямоугольников? Тогда наибольшее инвариантное множество -- $[0,1]$. Короче, сформулируйте вопрос как следует.

[Gortaur]

Переформулировал вопрос. Вариант $A = [0,1]$ и следовательно $A' = [0,1]$ - тривиален и неинтересен.

[Хорхе]

Все равно непонятно. Взяли проекцию $G\cap (A\times[0,1])$ на вторую координату.

Ладно, поиграем в "угадай мелодию". Множество $A\subset \mathrm{pr}_x G$ называется инвариантным, если $\mathrm{pr}_y \big(G\cap (A\times[0,1])\big) \subset A$. Тогда это действительно инвариантное множество в смысле многозначных отображений, и вопрос о максимальном инвариантном множестве имеет смысл. Но является ли это именно тем вопросом, что интересует Вас?

[Gortaur]

Да, Вы правы. Именно это я и имел ввиду. Просто не поставил "для любого $x\in A'$...". Сейчас уже поправить не могу - буду рад, если поправят модераторы.

Значит, это инвариантное множество в смысле многозначных отображений? (какая область математики??)

Если мы условились с определением, есть идеи как решить? Вроде несложная задача, но не знаю как подступиться.

[Gortaur]

Я думал определить $X_i = \operatorname{pr}_x(G_i)$ и $Y_i = \operatorname{pr}_y(G_i)$ - и затем показать, что если множество $A'$ существует, то максимальное такое $A'$ должно быть составлено из атомов алгебры $\mathcal{A}(X,Y)$ - но пока результатов нет.