Решение уравнения Лапласа методом Фурье

[NatNiM]

Методом Фурье найти распределение потенциала
$\[ u\left( {x,y} \right) \] $ плоского электрического поля внутри прямоугольной области
$\[ \begin{array}{l} 0 \le x \le 1 \\ 0 \le y \le 1 \\ \end{array} \] $, электростатический потенциал на границе которой:
$\[ \begin{array}{l} u\left( {o,y} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,u\left( {1,y} \right) = e^{ - y} \sin 1 \\ u\left( {x,0} \right) = \sin x\,\,\,\,\,\,\,\,\,u\left( {x,1} \right) = e^{ - 1} \sin x \\ \end{array} \] $.

Подскажите, пожалуйста, решение необходимо искать в виде:
$\[ u(x,y) = \upsilon (x,y) + w(x,y) \] $?

[Хорхе]

Не обязательно. Можно и в виде $a(x,y) + b(x,y)+c(x,y)+d(y,x)$.

Ну а если серьезно, почитайте, в чем состоит метод Фурье, тогда, глядишь, и вид, в котором искать, станет понятен.

[ewert]

Надо просто подобрать любую функцию $w(x,y)$ (как можно более простую), удовлетворяющую только граничным условиям по какой-либо одной переменной, после чего искать решение в виде разложения в ряд Фурье по собственнам функциям задачи Штурма-Лиувилля по этой переменной. Впрочем, это задание жульническое: здесь граничные условия подобраны так, что напрашивается функция $w(x,y)=e^{-y}\sin x$, удовлетворяущая сразу всем граничным условиям, по обеим переменным. Теперь надо подставить $u=v+w$ в уравнение Лапласа, и для функции $v$ получится уравнение Пуассона вида $\Delta v=f$ (где, естественно, $f\equiv-\Delta w$) с нулевыми граничными условиями, решение которого сразу выписываются в виде разложения в ряд Фурье по стандартным собственным функциям оператора Лапласа в прямоугольнике. Особенно приятно, что правая часть $f$ окажется нулевой, так что этот ряд Фурье считается очень легко и будет иметь вид $v(x,y)\equiv0$.