Оценка с второй производной.

[Bridgeport]

День добрый!

Имеется: $g(x)$ дважды дифференцируемая функция на $[0,1]$

Требуется доказать:
$g(x)=g(0)+g'(0)x+\frac{g''(\xi)}{2}x^2$ для некоторого $\xi \in (0,1)$

Если бы $g\in C^2$, то что то подобное я бы доказал через интегрирование по частям, а так неочень ясно.

[Joker_vD]

Раз вы знаете, что такое интегрирование по частям, то должны знать и про формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Положите $\varphi(t) = g(x) - g(t) - g'(t)(x-t), \; \psi(t) = (x-t)^2$, и воспользуйтесь теоремой Коши (не забудьте показать, что ее условия выполнены) на промежутке $[0,x]$ и преобразовывайте, пока не сойдется.

[Bridgeport]

Спасибо!