Ряд Маклорена

[give_up]

Нужно доказать, что для функции $\[f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {e^{\frac{{ - 1}}{{{x^2}}}}},\,\,\,x \ne 0\\ 0,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \end{array} \right.\]$ можно составить ряд Маклорена, но сумма этого ряда не совпадает с $f(x)$ при $x \ne 0$.

Тут как я понял, нужно каким то образом разложить экспоненту в нуле, но я не вижу как это можно сделать, потому что ее показатель стремится в $-\infty$, а не в $0$, производную брать бесполезно, не знаю что и делать...

[mihailm]

Это классика - посмотрите в любом курсе матана для университетов

[ewert]

Просто надо доказать, что любая производная этой функции в нуле равна нулю. Это, в принципе, вполне очевидно: после дифференцирования любого порядка мы не сможем получить ничего, кроме той же экспоненты, вынесенной за скобки, а в скобках останется некий многочлен от отрицательных степеней икса. И неважно какой конкретно -- экспонента всё равно его забьёт в окрестности нуля, даже если её разделить ещё на один икс (в поисках очередной производной в нуле).

Ну а насколько буквоедского д-ва требуют Ваши начальники -- этого предугадать невозможно.

[give_up]

Т.е. получим что т.к. $\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {f^k}(x) = 0\]$, то сумма ряда Маклорена $\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{f^n}(0)}}{{n!}}} {x^n} = 0\ne f(x),\forall x \ne 0\]$
Как то я не подумал о том, что в качестве производной в точке 0 можно брать предел вида $\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {f^k}(x) = 0\]$.

[ИСН]

Вообще-то нельзя. То есть можно, если производная сама непрерывна. Она, конечно, непрерывна, но это тоже надо понимать, почему.

[ewert]

give_up в сообщении #436375 писал(а):

Т.е. получим что т.к. $\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {f^k}(x) = 0\]$, то

не то. Важно не то, что $\lim\limits_{x \to 0} {f^k}(x) = 0$ (это-то само по себе особого значения не имеет), а вот что важно -- это чему равен $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f^k(x)-0}{x-0}$ (нолик в числителе получается по индукции).

[Padawan]

Если есть предел производной, то есть и производная в нуле, равная этому пределу (по теореме Лагранжа).