Олимпиада НГУ - 2006 (1-3 курсы)

[bot]

1. Найти функцию $f: R\longrightarrow R$, удовлетворяющую тождеству $2f(2x)-f(x)=x^2,$ если известно, что она непрерывна в точке $x=0.$ Доказать единственность такой функции.

2. Найти наибольшее значение определителя четвертого порядка, составленного из чисел $\pm 1$.

3. Числами $1, 2, 3, 4, ... , 256$ хотят занумеровать все 256 мест карусели так, чтобы для любых трех мест непосредственно следующих друг за другом с номерами $a, b$ и $c$ число $ac-b^2$ делилось нацело на 257. Сколько существует таких нумераций? Нумерации переходящие друг в друга при вращении карусели не различать.

4. Пусть $M$ - множество всех ограниченных функций, определенных на $R$. Доказать, что для любого отображения $f: M \longrightarrow R $ и любого положительного числа $\alpha $ найдутся $x,y\in M$, для которых $f(x)=f(y)$ и $\sup_{t\in R}|x(t)-y(t)|=\alpha$.

5. Существует ли полином $p$ с действительными коэффициентами, для которого выполняется
a) тождество $p(x-\frac{1}{x})=x^{2006}-\frac{1}{x^{2006}}?$
b) тождество $p(x-\frac{1}{x})=x^{2007}-\frac{1}{x^{2007}}?$

[juna]

1) $f(x)=\frac{x^2}{7}$
2) вроде бы уже решали тут

[bot]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

1) $f(x)=\frac{x^2}{7}$
2) вроде бы уже решали тут

А как Вы думаете, почему в 2 слово "найти" у меня синенькое ?
Олимпиада была сегодня - сейчас подвожу результаты.

[Руст]

Нетривиальна только 4 задача.

[RIP]

А по-моему, задача 4 самая тривиальная после задачи 1.

[bot]

Руст писал(а):

Нетривиальна только 4 задача.

Хм, статистический результат это подтверждает. Долго размышлял перед тем как выбрать для неё позицию - не попадает ли она в разряд утешительных? Поставил её на 4-ое только лишь из-за трудностями её осмысления для младшекурсников. Решение-то ведь в одну строчку - принцип Дирихле в чистом виде.

По ходу Олимпиады были вопросы типа - а как понимать $f(x)?$ Это $f(x(t))?$

PS.

RIP писал(а):

А по-моему, задача 4 самая тривиальная после задачи 1.

Вот, тоже так думал.

[RIP]

Мне нетривиальной показалась только задача 2, в остальных решение видно сразу. В третьей задаче ответ $\varphi(256)$?
Правда, задача 3 тоже не так тривиальна, для её решения надо быть немного знакомым с конечными полями.

[bot]

Ну да 128, то есть ровно столько, сколько существует примитивных корней по модулю 257.

[bot]

Второй тур
24 открытая Олимпиада по математике
(воскресенье, 29 октября 2006 г.)
С участием вузов Новосибирска и Барнаула

1. Из пункта А в пункт В, расположенный от А на расстоянии 100 м строго на северо-восток
по плоской поверхности, с постоянной по величине скоростью 5 м/час
бежала черепаха. У черепахи был компас, так что огибая препятствия,
встречавшиеся на ее пути, она следила, чтобы ее курс не выходил за
пределы между курсом на север и курсом на восток. Оценить
время движения черепахи от пункта А до пункта В.

2. Вычислить предел последовательности

$$x_n=\frac{2^3-1}{2^3+1}\cdot \frac{3^3-1}{3^3+1}\cdot ... \cdot \frac{n^3-1}{n^3+1}$$

3. Изменяя за один шаг на единицу ровно один из коэффициентов $a,b,c$
уравнения $ax^2 + bx + c=0$ за несколько шагов можно преобразовать
уравнение $x^2 + 6x + 2006=0$ в $6x^2 +2006x + 1=0$.
Возможно ли при этом, чтобы ни одно из промежуточных уравнений не имело целых решений?

4. Найти все функции, определенные на множестве действительных чисел, удовлетворяющие тождеству:

$$f(x)+xf(4-x)=1+x.$$

5. Пусть $f$ и $g \ -$ произвольные функции, определенные на отрезке $[0,1]$.
Доказать, что $|f(x)+g(y)-xy| \ge \frac{1}{4}$ для некоторых $x,y\in [0,1]$

[Руст]

На счёт первой задачи я не понял в чём подвох (на вид задача для первоклассника).
Во втором легко найти $x_n=\frac 23 (1+\frac{1}{n(n+1)})$. В третьей ответ можно.
В четвёртой подставив вместе x аргумент 4-x получаем f(x)=1 тождественно. В пятой число 1/4 можно заменить и на 1/3.

[Юстас]

Во второй ответ $\frac 2 3$, в третьей ответ нельзя(т.е. целый корень всегда будет). А вот как в пятой заменить на 1/3?

[Руст]

Во второй забыл 3 в знаменателе. В третьей рассуждал так. Вначале первый коэффициент увеличиваем до 6, потом свободный коэффициент уменьшаем до 1 (всё время дискриминант отрицательный) и приходим к 6x(x+1)+1. Далее думал можно перескочить через целые корни, за счёт старшего коэффициента - 6 , даже, если дискриминант будет квадратом целого числа.
5. Пусть для всех x,y выполняется: $|f(x)+g(y)-xy|<a$. Подставим x=0 или y=0 получаем $|f(x)+g(0)|<a, \ |f(0)+g(y)|<a.$ Тогда
$|f(1)+g(1)-1|=|f(1)+g(0)+f(0)+g(1)-(1+f(0)+g(0)|>1-3a$. Однако противоречие получилось только при a=1/4.Но мне кажется коэффициент 1/4 не оптимальный.

[bot]

Первая, разумеется утешительная, хотя интуитивно очевидный ответ требуется обосновывать, не так ли? Например спрямлением траектории или оценки её длины через интеграл.

А что добавите по поводу 4-й?

[Юстас]

По третьей задаче: рассмотрим выражение $b-(a+c)$, где $a,\ b,\ c$-коэффициенты уравнения. В начальной точке оно меньше 0, в конечной - больше, поэтому есть промежуточное уравнение, где $b=a+c$, соответственно дискриминант есть $(a-c)^2$, поэтому будет целый корень.
В 4й, как говорил Руст, подставим вместо x 4-x и, решив систему относительно f(x) и f(4-x) получим f(x)=1.

[Руст]

Решение 3 -й красивое в том смысле, что указывает и корень f(-1)=a-b+c=0. В пятой оценка точная, достаточно взять $f(x)=\frac{4x-1}{8}, g(y)=\frac{4y-1}{8}.$