Извлечение квадратного корня вручную

[Энер]

а как извлекать квадратный корень вручную ? помогите нужно

Спасибо.

[mefisto*]

можно использовать процесс Ньютона последовательных приближений:

$X(n+1) = \frac 1 2 (X(n) + A / X(n))$ , где $A$ — число из которого извлекается корень, а $X(0)$ — начальное приближение

Например, вычислим корень из 7:

$x_0 = 3$

$x_1 = \frac 1 2 (x_0 + 7/x_0) = 2.6666...$

$x_2 = \frac 1 2 (x_1 + 7/x_1) = 2.6458333...$

Получили уже со второй итерации хорошее приближение, точное значение = 2,645751...
________________
Близкая тема: «Алгоритм вычисления квадратного корня...» / GAA, 15.08.2017

[Cube]

Энер писал(а):

а как извлекать квадратный корень вручную ? помогите нужно

Спасибо.

http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=3760 - здесь photon помещал ссылку на статью из журнала "Квант" с алгоритмом "ручного" вычисления квадратного корня.[/quote]

[Asalex]

Наткнулся в литературе на схему для вычисления квадратного корня

$$x_0=1,\quad x_{i+1}=\frac{x_i}{2}+\frac{2b}{x_i},\qquad \lim\limits_{i\to\infty}x_i=2\sqrt{b},$$

причем схема сходится очень быстро. На каждой итерации число верных знаков после запятой удваивается!
Для вычисления $\sqrt{2}$ с точностью 200 знаков нужно взять всего 9 итераций, с точностью 24 знаков 5 итерации, 5 верных знаков достигаются 3мя итерациями.

Есть аналогичная схема с 3кой

$$y_0=1,\quad y_{i+1}=\frac{x_i}{3}+\frac{6b}{y_i},\qquad \lim\limits_{i\to\infty}y_i=3\sqrt{b},$$

но эта схема сходится уже гораздо медленнее, при $b=1$ для вычисления 7 верных знаков необходимо взять 13 итераций.

Где можно почитать об этих схемах? На чем они основаны?

[GAA]

С двойкой — метод Ньютона. Много раз было на форуме, см., например, post37146.html#p37146, post31081.html#p31081.
Немного есть в книге Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. ТI, гл. 3, дополнение 2 (О скорости сходимости последовательности приближающей $\sqrt a$)

С тройкой — не знаю. (Если сходится хуже, то зачем оно надо.)

12.11.2017 ветки объединены.