Вопросы про сферические функции

[Padawan]

$\frac{1}{(1-2ra+r^2)^{1/2}}=\sum\limits_{m=1}^\infty r^mP_m(a)$, где $P_m(a)$ -- полиномы Лежандра.
Вопрос 1: Верно ли что $|P_m(a)|\leqslant 1$ для всех $a\in[-1,1]$?
Пусть
$\frac{1-r^2}{{(1-2ra+r^2)}^{n/2}}=\sum\limits_{m=0}^\infty r^m \Phi_m(a)$ $(n\geqslant 3)$
Вопрос 2: Можно ли выразить $\Phi_m(a)$ через $P_m(a)$?
Вопрос 3: Верно ли, что $\sup\limits_{a\in[-1,1]}|\Phi_m(a)|\leqslant C m^p$, где константы $C,p>0$ зависят только от $n$? Какое минимальное значение $p$ можно взять?

[Vince Diesel]

1) ответ положительный в википедии
2) полиномы Лежандра образуют базис, так что любой многочлен можно выразить через них

[Padawan]

2) Теоретически-то да, понятно, что можно. Интересует более-менее простая формула.

-- Вс апр 17, 2011 16:08:28 --

Вот, например, при $n=3$
$\frac{1-r^2}{{(1-2ra+r^2)}^{3/2}}=\sum\limits_{m=0}^\infty r^m (2m+1) P_m(a)$

[Vince Diesel]

Ну, каждый нечетный случай, думаю, можно аналогично подсчитать через производные от $P_m(a)$. Например, $n=5$ получается из $n=3$ дифференцированием по $a$, а затем умножением на $(1-r^2)$. При $r^n$ получится сумма производных функции Лежандра со сдвинутыми номерами. Чтобы выразить через сами полиномы, можно воспользоваться какой-нибудь рекуррентной формулой для них, содержащей производные. Наверно, это все уже где-то сделано. Есть толстые справочники с рядами.

[Taus]

2) Могу посоветовать литературу:
Бейтмен Г., Эрдейи А. — Высшие трансцендентные функции (том 2)
Сегё Г. Ортогональные многочлены

Ваш пример производящей функции связан с полиномами Гегенбауэра.