Уравнение в целых числах

[maxal]

Xenia1996 в сообщении #435649 писал(а):

Решить в целых числах:

$3\cdot 2^m-2\cdot 3^n=42$

Рассмотрением по модулю 5440, получаем ровно два решения [4, 1], [5, 3].

[Батороев]

nnosipov в сообщении #435661 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #435649 писал(а):

Не помню, было ли такое уже на форуме. Если было, не отрывайте мне голову
Решить в целых числах:

$3\cdot 2^m-2\cdot 3^n=42$

А сократить на 6? И тогда степень двойки минус степень тройки равно семи.

$2^k-3^l=7$

Рассматривая по модулю $3$, отмечаем, что $k$ - четное.
Учитывая полученное, рассматриваем по основанию $7$ и приходим к выводу, что $l$ - нечетное.

Раскладываем на разность квадратов число $7$:

$2^k-3^l=4^2-3^2$

$2^k-2^4=3^l-3^2$

При $k>4$, получаем:

$2^4(2^{k-4}-1)=3^2(3^{l-2}-1)$
что при нечетных $l$ невыполнимо.

Следовательно, $k\leq4$. Далее "включаем" перебор для полученных значений $k$.