Задача: интегральное неравенство (с периодической функцией)

[Taus]

Дана функция $f(x) > 0$ непрерывная с периодом $T=1$.

При каких $a$ данное условие выполняется:

$$\int\limits_{0}^{1}\frac{f(x+a)}{f(x)}dx \geq 1$$

Буду очень благодарен, если подтолкнёте в каком направлении думать

ПС: Для 1 и 0 - очевидно. Для $\frac{1}{2}$ тоже не сложно доказывается, сдвиг промежутка интегрирования. А вот в общем случае ничего не идет в голову :(

[SpBTimes]

Ну, скажем, для целых а очевидно.
А вот для $0 < a < 1$ - достаточно рассмотреть, остальные получатся прибавлением периода, нужно исследовать. Я бы попробовал перенести единицу под интеграл, сделав из неё $x$, а затем попробовать сделать замену.
Хотя и не проделывал, может и тупиково

[Vince Diesel]

Так же как для $1/2$ легко проверить, что либо для $a$, либо для $-a$ верно и множество значений $a$, для которых верно, замкнуто.
Можно еще попробовать доказать дискретный аналог, из которого следует напрерывный вариант: для положительной периодической последовательности $\{f_k\}$, $f_{k+n}=f_k$,

$$\sum_{k=1}^n\frac{f_{k+m}}{f_k}\ge n\quad m\in\mathbb Z.$$

[Полосин]

Рассмотрите сначала случай $a=1/n$, замените $f(x)$ на интегральную сумму $\sum\limits_{k=1}^nf_kI_k(x)$, где $I_k(x)$ - индикатор отрезка $[k-1,k]$, и оцените интеграл с помощью неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим.

[Oleg Zubelevich]

Заметим, что

$$\ln\int_0^1\frac{f(x+a)}{f(x)}dx\ge\int_0^1\ln f(x+a)-\ln f(x)dx=0.$$

[Taus]

Oleg Zubelevich, спасибо, это неравенство легко доказывается.
Да уж, неравенство Йенсена. До сих пор не понял его силы