Самовложенное множество

[Gortaur]

На квадрате $Q = [0,1]^2$ задана функция $\phi(x,y)$ неотрицательная и Липшицева с константой $\lambda_\phi$. Для каждой точки $x\in [0,1]$ определим множество

$$ S(x) = supp \,\phi(x,\cdot) $$

то есть замыкание множества $\{y\in[0,1]:\phi(x,y)>0\}$.

Множество $A\subset [0,1]$ назовем самовложенным, если для любого $x\in A$ следует $S(x)\subset A$, или

$$ \bigcup\limits_{x\in A}S(x)\subset A. $$

Задача - определить, есть ли хоть одно такое множество. Я пока показал, что $\mu(A)>0$ (где $\mu$ - мера Лебега) и что если $A$ самовложенно, то и его замыкание также самовложенно - т.е. можно искать замкнутые множества ненулевой меры. Есть какие-нибудь идеи?

[MaximVD]

Gortaur
вы естественно имели ввиду - существует ли хотя бы одно самовложенное множество отличное от $\varnothing$ и $[0,1]$?
Берём в качестве $\phi$ любую строго положительную функцию. Тогда $S(x) = [0,1]$ для всех $x \in [0,1]$ и нетривиальных самовложенных множеств нет. Поэтому получаем условие на функцию $\phi$ - $supp \phi \ne [0,1]^2$.

Теперь возьмём функцию $\phi(x,y) = \max\{ -x -y +1, 0 \}$. Эта функция равна 0 выше диагонали квадрата $y = 1 - x$, тогда $S(x) = [0, 1-x]$. Очевидно, что $\phi$ липшицева. Предположим, что есть нетривиальное самовложенное множество $A$. Если $0 \in A$, то $[0,1] = S(0) \subset A$, т.е. $A = [0,1]$ - противоречие. Если же $0 \notin A$, то ясно, что $A = \varnothing$, поскольку $0 \in S(x)$ для любого $x \in [0,1]$.

[Gortaur]

Да, я имел ввиду как по данной функции $\phi$ определить, есть ли нетривиальное (не $[0,1]$ и не $\emptyset$) самовложенное множество.

[AD]

Немножко переформулирую.

Пусть функция $f:[0,1]^2\to\mathbb{R}$ хорошая, существуют ли множества $A$ такие, что $f\geqslant0$ на $A^2$.

Так что-ли?

(пояснения)

Вроде бы ясно, что от разговора про носители можно спокойно перейти к разговорам об областях положительности и отрицательности некой другой функции, получаемой из исходной путем небольшого опускания всего, что вне носителя. Например, на величину типа расстояния до носителя, может быть, немного обработанную; лучше, конечно, все продумать но лень.

Эквивалентность условий "$x\in A\Rightarrow(y\in A\Rightarrow f(x,y)\geqslant0)$" и "$f\geqslant0$ на $A^2$" вроде тоже очевидна.

-- Пт апр 15, 2011 20:57:25 --

А, щас, наоборот же, $x\in A\Rightarrow (f(x,y)\geqslant 0 \Rightarrow y\in A)$

[Gortaur]

Не то чтобы это наоборот, но да, последнее верно. Функция $f$ получится из $\phi$ если последннюю сделать отрицательной на $[0,1]^2\setminus supp\phi$.

P.S. это вообще какая облаcть? топология? если да, то какая - общая, алгебраическая?

[Kallikanzarid]

Любопытное построение. Где оно возникает?

По сабжу: если мы возьмем отрезки

$$A := [-\varepsilon + \frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \varepsilon], \quad B := [-\frac{\varepsilon}{2} + \frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\varepsilon}{2}],$$

построим локализатор

$$\varphi(x):\ \varphi|_{Q \setminus A} \equiv 0,\ \varphi|_B = 1$$

обычным способом, то будет ли функция $\phi(x, y) := \varphi(x)\varphi(y)$ удовлетворять условию Липшица? Если да, то $A$ ИМХО будет самовложенным множеством.

ЗЫ: проще, наверное, взять множество $B$ одноточечным, тогда $\varphi(x)$ будет всем известным моллифаером:
http://en.wikipedia.org/wiki/Mollifier#Concrete_example

С другой стороны, при $\phi(x, y) \equiv 1$ самовложенных множеств, отличных от $\emptyset$ и $Q$, нет. Так что существование нетривиальных самовложенных множеств зависит от выбора $\phi(x,y)$.

[AD]

Да вроде бы ясно, что липшиц тут ни при чём даже. Берём любое открытое в $[0,1]^2$ множество $G$, и ищем такие замкнутые $A$, что $x\in A\Rightarrow\Bigl((x,y)\in\overline{G}\Rightarrow y\in A\Bigr)$; вроде бы ясно, что формулировка эквивалентная; ведь для любого открытого множества $G$ можно придумать функцию класса $C^\infty$, положительную на нём и только на нём, и, наоборот, множество, на котором непрерывная функция положительна, открыто.

[Kallikanzarid]

В принципе да, важно лишь, умещается $\operatorname{supp}\phi$ в квадрат с центром в центре $Q$.

[Gortaur]

Построение идет из следующей задачи. Есть Марковский процесс $X_0,X_1,...$ - т.е. распределение $X_{n+1}$ зависит лишь от $X_n$. По сути $\phi(x,y)$ - плотность этого распределения, то есть

$$ \mathsf{P}\{X_{n+1}\in B|X_n = x\} = \int\limits_B\phi(x,y)\,dy. $$

Для некоторых задач важно найти инвариантное множество $A$ такое, что если $X_0 = x\in A$, то и $X_1\in A$ пончти наверное. У меня получилось построить убывющую последовательность $A_n$, сходящуюся к этому множеству - но сходится она, естественно, лишь на бесконечности и данный метод даже не может ответить - есть ли такое инвариантное множество или предел равен пустому множеству. Более того, если пределе равен пустому множеству, то на какой-то $N$-ой итерации последовательность сойдется к пустому множеству.

Как по $\phi$ найти (оценить сверху) $N$ - для меня это главная задача, но она довольно сложная. У меня есть гипотеза, что для каждой $\phi$ есть $N$ такое, что либо $A_n = A$ либо $A_n = \emptyset$. Проверить ее пока не удалось - я решил начать с вопроса о существовании $A$.

AD переформулировал задачу в более кратком виде, спасибо. Есть ли идеи о решении такой задачи? (и к какой области она относится? я в топологии не силен)

Kallikanzarid а если не умещается? Например $A = [0,0.1]^2$

[Kallikanzarid]

ИМХО, необходимое и достаточное условие: $\operatorname{supp}\phi \subset A^2,$ так что если не умещается, то такое множество вам не подходит. Но я совсем строго не проверял :)

Таким образом, нетривиальное $A$ существует тогда и только тогда, когда $\operatorname{supp} \phi \cap \partial Q = \varnothing$, причем существует минимальное $A$, которое можно получить, интуитивно, сжимая $Q$, пока его граница не коснется $\supp \phi$.

Но, опять же, это ИМХО, я строго вашу задачу не исследовал.

[Gortaur]

Вы не правы, возьмите $G = \operatorname{supp}\phi$ так, что оно состоит из квадрата $[0.4,0.6]^2$ и прямоугльников $[0,0.4)\times [0,1]$ и $(0.6,1]\times [0,1]$. Тогда оно не подходит под оба Ваши критерия, но при этом содержит инвариантное множество $[0.4,0.6]^2$.