О связи определенного и неоределенного интеграла!!

[Zidan98]

Интегрируема ли функция $f(x)$, для которой существует неопределенный интеграл $\int f(x)dx$ во всех точках некоторого интервала? (Функция ограничена на нем). Критерий Лебега ну просто неприменим.. Воспользоваться теоремами о верхнем пределе не удается, т.к. там нужна интегрируемость!!

-- Чт апр 14, 2011 18:22:39 --

Хотя бы напишите верно оно по-вашему или нет? Задача сама по мебе сложная и непонятно с чего ее начинать, может есть очень уж известный контрпример, который я по неграмотности и не знаю?!

[MaximVD]

Есть замечательная книжка с огромным количеством контрпримеров: Б. Гелбаум, Дж. Олмстед "Контрпримеры в анализе". Я заглянул в эту книгу, в итоге - существует ограниченная функция, имеющая первообразую на замкнутом интервале, но не интегрируемая на нём.

[tavrik]

функция:
y = $x^2\sin(1/x^2)$, когда x не равен 0
y = 0, когда х равен 0

имеет первообразную на замкнутом интервале [0,1] но не интегрируема на нём.

[ewert]

Это не тот контрпример: здесь неинтегрируемость обусловлена неограниченностью производной, а запрашивался ограниченный случай. В Гелбауме-Олмстеде тоже ничего на этот счёт нет.

[MaximVD]

ewert в сообщении #434819 писал(а):

Это не тот контрпример: здесь неинтегрируемость обусловлена неограниченностью производной, а запрашивался ограниченный случай. В Гелбауме-Олмстеде тоже ничего на этот счёт нет.

Как это нет? В 3-ем издании, глава 8, пример 35 - "Ограниченная функция, имеющая примитивную на замкнутом интервале, но не интегрируемая на нём по Риману" (в их терминологии примитивная - это превообразная):
Определим функцию $g$ для положительного $x$ формулой $g(x) = x^2 \sin( 1 / x)$. Далее для всякого положительного числа $c$ обозначим через $x_c$ наибольшее положительно число $x$, не превосходящее $c$ и такое, что $g'(x) = 0$. Наконец, для $0 < x \le c$ определим функцию

$$ g(x) = \begin{cases} g(x), \text{ если $0 < x \le x_c$},\\ g(x_c), \text{ если $x_c \le x \le c$}. \end{cases} $$

Пусть $A$ - какое-либо канторово множество положительной меры на $[0,1]$. Определим функцию $f$ следующим образом: если $x \in A$, то положим $f(x) = 0$; если же $x$ принадлежит какому-либо интервалу $I = (a, b)$ удалённому из $[0,1]$ при построении $A$, то положим

$$ f(x) = \begin{cases} g_c(x-a), \text{ если $a < x \le \frac 1 2 (a + b )$},\\ g_c( -x + b), \text{ если $\frac 1 2 (a + b) \le x < b$}, \end{cases} $$

где $c = \frac 1 2 (a + b)$.
Можно показать, что функция $f$ дифференцируема на $[0,1]$ и её производная ограничена, но производная $f'$ не интегрируема по Риману. То есть $f'$ является искомой функцией.

[ewert]

MaximVD в сообщении #434821 писал(а):

глава 8, пример 35

А, в восьмую главу я не догадался заглянуть. Только, по-моему, они там явно перемудрили с построениями. По-моему, вполне достаточно (и, кстати, идейнее) было бы взять за основу всюду дифференцируемую функцию $g(t)=(1-4t^2)^2\cdot\sin\dfrac{1}{1-4t^2}$ при $|t|<\frac12$ и $g(t)=0$ при $|t|\geqslant\frac12$ (или чего аналогично, неважно). А затем для каждого выкидываемого интервала $(a;b)$ определить $f(x)=(b-a)^2\cdot g\left(\dfrac{x-\frac{a+b}{2}}{(b-a)^2}\right)$ (ну и $f(x)=0$ для точек канторова множества, конечно). Тогда каждая точка канторова множества будет точкой разрыва производной -- просто потому, что на каждом выкидываемом участке и супремумы, и инфимумы производной одни и те же (они попросту равны супремуму и инфимуму $g'(t)$). И в то же время для каждой точки $x$ канторова множества производная существует и равна нулю: если даже для некоторого $y\neq x$ окажется $f(y)\neq0$ (т.е. если тот игрек попадёт в некий выбрасываемый интервал $(a;b)$), то получится

$\left|\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\leqslant \dfrac{(b-a)^2\max\limits_t|g(t)|}{\frac{b-a}{2}-\frac{(b-a)^2}{2}}\to0$ при $b-a\to0$.

----------------------------------------------------------
пардон за рассеянности

-- Чт апр 14, 2011 23:57:52 --

хм, да ещё проще: берём $g(t)=(1-4t^2)^2$ при $|t|<\frac12$...

[Zidan98]

Ага, спасибо. Просто есть одна задача, где я хотел это применить, но уже не получится... Книжка замечательная