Найдите пропавшую параболу

[Xenia1996]

Пропала парабола по кличке Палестра.

Приметы:

Совпадает с графиком функции
$f(x)=ax^2+bx+c$, все коэффициенты - целые числа, x-вещественное.

Особые приметы:

$f(f(1))=f(f(2))=f(f(3))$

Нашедшему гарантируется вознаграждение в виде повышения IQ на 1 балл.

[Tlalok]

ход решения таков. Запишем общий вид функции $f(f(x))$
Найдем производную этой функции и зависимость критических точек от $x$. Это будет, как бы общее решение. Остается найти частное.


Xenia1996
А где Вы находите такие задачи? Или может авторство Ваше?

[Xenia1996]

Tlalok в сообщении #434582 писал(а):

Xenia1996
А где Вы находите такие задачи? Или может авторство Ваше?

(Оффтоп)

Мыжжко пробежала, Ксюжжко написала.

Кстати, можно без производных:

http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=29873

[zhekas]

Если я всё правильно понял, то таких парабол куча

в общем виде записывается как

$$f(x)=2kx^2-8kx + 7k+2$$

я рассматривал три случая $f(1)=f(2)$, $f(1)=f(3)$ и $f(20=f(3)$

[Tlalok]

zhekas
Вы не правильно поняли.

Это просто я не совсем верно понял условие задачи.

[zhekas]

Tlalok в сообщении #434611 писал(а):

zhekas
Вы не правильно поняли.

и чем они не подходят под условия?

[Kallikanzarid]

Можно подсказку? Есть ли целочисленное $a$ такое, что $-\frac{5 a^2}{1 + 3a}$ тоже целочисленное? :) UPD: подойдет, например, $a = -2$, но я не знаю, есть ли еще.

UPD: что-то у меня не получилось ни одной параболы. Я решал, исходя из того, что

$$f(u) = f(v) \Leftrightarrow u = v \text{ или } u + v = -\frac{b}{a}.$$

При этом т.к.

$$f(f(1)) = f(f(2)) = f(f(3)),$$

то в силу записанного выше хотя бы два числа из $f(1),\ f(2),\ f(3)$ совпадут. Я проверил все варианты, и везде парабола либо вырождается в горизонтальную прямую, либо один из коэффициентов получается дробным. Может, я где-то ошибся? :)

[zhekas]

Kallikanzarid в сообщении #435136 писал(а):

Можно подсказку? Есть ли целочисленное $a$ такое, что $-\frac{5 a^2}{1 + 3a}$ тоже целочисленное? :) UPD: подойдет, например, $a = -2$, но я не знаю, есть ли еще.

UPD: что-то у меня не получилось ни одной параболы. Я решал, исходя из того, что

$$f(u) = f(v) \Leftrightarrow u = v \text{ или } u + v = -\frac{b}{a}.$$

При этом т.к.

$$f(f(1)) = f(f(2)) = f(f(3)),$$

то в силу записанного выше хотя бы два числа из $f(1),\ f(2),\ f(3)$ совпадут. Я проверил все варианты, и везде парабола либо вырождается в горизонтальную прямую, либо один из коэффициентов получается дробным. Может, я где-то ошибся? :)

я уже дал ответ

При f(1)=f(3) найдутся целые коэффициенты