Линейные операторы

[DianaAmirova]

Помогите, пожалуйста... Как проверить, является ли A(x)=λx линейным оператором? Как я поняла, надо доказать свойства операторов

[Samir]

Проверьте, что

$$A(a+b) = A(a) + A(b), \forall a,b\in V$$

и

$$A(\alpha a)=\alpha A(a), \forall\alpha\in P, a\in V$$

[DianaAmirova]

Ну мне получается надо взять какие-то a и b из этого множества А(х)?

[Samir]

Берите произвольные элементы векторного пространства $V$ и произвольный элемент поля $P$, над которым задано это векторное пространство. Равенства должны выполнятся для любых элементов.

[DianaAmirova]

Эм... не совсем поняла... Не могли бы вы быть так любезны и показать хотя бы как начинать это делать... Очень прошу, если не трудно

[Samir]

Первое условие:
$A(a+b)=\lambda (a+b)=\lambda a+\lambda b=A(a)+A(b)$

[svv]

DianaAmirova, проверьте аналогично второе условие.

[DianaAmirova]

Тогда второе:А(λа)=λ(λа)=λА(а)? или нет...

[Samir]

А где $\alpha$ ?

[DianaAmirova]

А(αа)=αλa=αА(а) так?

[Samir]

да. правильно

[DianaAmirova]

Ой, спасибо огромное за помощь... Я уж и не знала, что делать...

[bot]

Судя по началу не уверен, что правильно написанное не есть случайно угаданное. На экзаменах на просьбу объяснить равенство, неоднократно получал ответы, что $A(\alpha a)=\alpha\lambda a$ получается подстановкой в левую часть $\lambda a$ вместо $Aa$.