"Неподъёмное" (на первый взгляд) уравнение

[Xenia1996]

Сколько решений в натуральных числах имеет следующее уравнение?

$xy(x-y)+yz(y-z)+zu(z-u)+ux(u-x)=2012$

*Убедительная просьба не лазить в Маплу и Матлаб сотоварищи. Задача имеет очень красивое решение "в уму".

[lim0n]

(Оффтоп)

Сдаётся мне, что ни одного.
Все слагаемые чётные, после (двойного) сокращения, приходим к уравнению, не имеющему решений, т.к. $2012=4\cdot 503$.

[zhekas]

Решений бесконечно много.
левая часть уравнения раскладывается на множители

$$(y-u)(x-z)(x+z-y-u)=2012=2\cdot2\cdot503$$

И решая например систему

$$\left{\begin{array}{l} y-u=4\\ x-z=1\\ x+z-y-u=503\end{array}\right.$$

получим систему решений

$$\left{\begin{array}{l} u=u\\ x=254+u\\ y=4+u\\ z=253+u\end{array}\right.$$

[Xenia1996]

А вот как решила я.
Для начала доказала бесконечность множества решений более лёгкого уравнения, заменив число 2012 числом 4.

$(0, 1, 4, 2)$ решением не является (так как 0 - не натуральное), но наталкивает на идею:

$x(x+1)\cdot (-1)+(x+1)(x+4)\cdot (-3)+(x+4)(x+2)\cdot 2+(x+2)x\cdot 2=4$

Заметила закономерность: x, u и z могут составлять арифметическую прогрессию с разностью, равной половине правой части уравнения, а y может быть на единичку меньше u.

Проверила эту закономерность для 2012:

$x(x+1005)\cdot (-1005)+(x+1005)(x+2012)\cdot (-1007)+(x+2012)(x+1006)\cdot 1006+(x+1006)x\cdot 1006=2012$