Функан

[Юстас]

Вот, вспомнил симпатичную задачу: доказать, что объединение двух нигде не плотных множеств($int\ cl(X)=0$) есть снова нигде не плотное множество. Для счетного объединения, однако, это не верно.

[RIP]

Извините, но эту задачку трудно назвать олимпиадной, скорее это стандартная задача по топологии, чисто на знание определений.

[Руст]

Юстас писал(а):

Вот, вспомнил симпатичную задачу: доказать, что объединение двух нигде не плотных множеств($int\ cl(X)=0$) есть снова нигде не плотное множество. Для счетного объединения, однако, это не верно.

А что тут решать. Если Х нигде не плотно в К, то для любой точки у из К найдётся окрестность точки у не содержащей точек из Х кроме самой у. Объединение двух нигде не плотных Х и У так же нигде не плотно, так как достаточно взять пересечение двух соответствующих окрестностей у.
Примером для второй части является объединение множеств из одной рациональной точки. В совокупности все рациональные точки всюду плотны.

[Юстас]

Можно и посложнее: пусть $X,\ Y,\ Z - $ банаховы пространства. Через $K(\cdot,\cdot)$ будем обозначать множество компактных операторов, $B(\cdot,\cdot)$-непрерывных. Пусть $T\in K(Z,\ Y)$, $Q\in B(X,\ Y)$, и пусть образ $Q$ лежит в образе $T$. Доказать, что оператор $Q$ компактен.

[RIP]

Руст писал(а):

Юстас писал(а):

Вот, вспомнил симпатичную задачу: доказать, что объединение двух нигде не плотных множеств($int\ cl(X)=0$) есть снова нигде не плотное множество. Для счетного объединения, однако, это не верно.

А что тут решать. Если Х нигде не плотно в К, то для любой точки у из К найдётся окрестность точки у не содержащей точек из Х кроме самой у. Объединение двух нигде не плотных Х и У так же нигде не плотно, так как достаточно взять пересечение двух соответствующих окрестностей у.
Примером для второй части является объединение множеств из одной рациональной точки. В совокупности все рациональные точки всюду плотны.

По-моему, это решение неправильно. Множество X называется нигде не плотным, если в любом непустом открытом множестве найдется непустое открытое подмножество, свободное от точек X. Множество $\{\frac1n\mid n\in\mathbb{N}\}$ нигде не плотно, но 0 - его предельная точка. Или я что-то путаю?

[Brukvalub]

Нет, RIP, Вы правы, Руст исходит из неверного определения нигде не плотного множества.

[Руст]

Для такого определения этот факт так же тривиален. Пусть О непустая открытая область, тогда пересечение с дополнением cl(X) будет непустая открытая область О'. Соответственно пересечение O' с дополнением cl(Y) опять непустая открытая область O'' из О, которая не содержит элементов из cl(X U Y).