Вопрос о фрактальной размерности и размерности подобия.

[Trueman]

Доброго времени суток, рассматривал тут фрактал один и кое-что не сходится, может кто подскажет, буду очень благодарен.
Салфетку серпинского (дырявый треугольник) можно получить, как предельное множество итерирования системы трёх гомотетий с центрами в вершинах данного треугольника и коэффициентами подобия равными $\frac{1}{2}$. Вычисляя её фрактальную (ящичную) размерность получим $d=\frac{\ln3}{\ln2}$, вычисляя размерность подобия как решение уравнения $\left(\frac{1}{2}\right)^s+\left(\frac{1}{2}\right)^s+\left(\frac{1}{2}\right)^s=1$, получаем тоже значение $\frac{\ln3}{\ln2}$. Что вообщем-то понятно, так как для этой системы функций и этого фрактала выполняется условие Морана, о том что образы любой пары разных функций не перескаются на каждом шаге. Теперь рассматриваю тот же треугольник, но гомотетии не с равными коэффициентами, а с такими: $\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8}$, получаю ящичную размерность равную $\frac{\ln21}{\ln8}$, что не совпадает с размерностью подобия, полученной как вещественное решение уравнения $\left(\frac{1}{2}\right)^s+\left(\frac{1}{4}\right)^s+\left(\frac{1}{8}\right)^s=1$, но достаточное условие их совпадения - условие Морана выполнено. Я чего-то не понимаю или где-то ошибаюсь?, подскажите пожалуйсто.

[Circiter]

А что, $\ln 3/\ln2$ и $\ln 21/\ln 8$ численно сильно различаются?

[Trueman]

Ну проблема не в том на сколько сильно они отличаются , просто не сходится утверждение и то что получилось по факту

[zhoraster]

Trueman, устное предупреждение за дублирование сообщения. Дубль удален.

[ha]

Нужно решать уравнение. Откуда у вас получилось $\ln21/\ln8$ я не понимаю.
1->1/2,1/4,1/8->2*1/4,2*1/8,1/16->4*1/8,3*1/16,2*1/32->... Ни в какой момент x*1/2^n не получится, а поэтому как отношение логарифмов (по крайней мере рациональных чисел) ответ не представляется.

[Trueman]

отношение логарифмов я получил, не как решение уравнения, а как фрактальную размерность множества, через покрытия треугольничками, по условию морана она должна совпадать с решением этого уравнения, но не совпадает, вот у меня и вопрос почему так.

[ИСН]

Trueman применяет гомотетии один раз и накрывает результат треугольничками со стороной в 1/8. Потом ещё раз - и теперь треугольничками в 1/64. И так далее. Отсюда и выходит 21.
А надо не так.

[Trueman]

ну подскажите пожалуйсто как надо, я же об этом и спрашиваю.

[scwec]

Подсказываю, подробно об этом можно прочитать в книге Р.М. Кроновер "Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории" стр.127-146. Можно и всю прочитать. Книга доступная, незаумная и очень полезная.

[ИСН]

Надо по определению. В определении фрактальной размерности, как Вы знаете, нету ведь таких слов - "гомотетия", "применим один раз"... Каждый раз накрывают не какие-то промежуточные конструкции, а само множество. Ну и вот, когда Вы накрываете его треугольничками в 1/8, то вовсе нет нужды класть 16 из них на треугольник в 1/2. Он ведь сам весь в дырках.