Диффуры.

[C0rWin]

Надо решить след. уравнение :

\[y' + \frac{{y - 1}}{x} = x(y - 1)\]

и найти решение удолетворяющее условию \[y(1)=1]\ у меня получилось

\[x(y-1)=0\]

. И вот есть у меня смутное сомнение по поводу моего ответа. Вот и возник вопрос: прав я или нет?

[Brukvalub]

В Вашем уравнении тривиально разделяются переменные, так какие с ним могут быть проблемы? А условию y(1)=1 удовлетворяет тождественно равная 1 функция.

[C0rWin]

Ну на самом деле, то y=1 подходит под условие и решение данного уравнения я видел изначально, но мне это показалось несколько не правильно и я попытался решить и прешл к ответу написанному выше, он так же удолетворяет условию. Вопрос не в том как решить, а правильно ли я нашел решение. Если нужно могу привести ход своих решений.
Допустим

\[t = y - 1\]

тогда уравнение превращается в

\[t' + \frac{t}{x} = xt\]

полагая

\[x \ne 0\]

умножаем обе части на

\[x\]

и получаем

\[\left( {xt} \right)^\prime = x^2 t\]

далее снова делаем замену

\[w = xt\]

получаем

\[w' = xw\]

ну и соответственно решение

\[\ln (w) = \frac{{x^2 }}{2} + \ln c\]

или

\[w = ce^{\frac{{x^2 }}{2}} \]

ну и отсюда

\[x(y - 1) = ce^{\frac{{x^2 }}{2}} \]

используя начальные условия находим что с=0.

Добавлено спустя 4 минуты 22 секунды:

Во тормазнул, пока заканчивал писать задумался и понял, что это одно и тоже решение. Все вопрос снят.

[Brukvalub]

По-моему, все правильно, причем Вы ответили и на первый вопрос задачи об общем решении д.у.