Вычислить площадь части поверхности, заключенную в цилиндр.

[APECTAPX]

Вычислить площадь части поверхности $\sigma$, заключенную внутри цилиндрической поверхности Ц.
$\sigma$ $z=9-x^2-y^2$
Ц $x^2+y^2=5$

Решение:
$\sigma$ \rho^2 +z=-9$
Ц $ \rho^2=5$
$\sigma=$\int\limits_{0}^{2\pi} d\varphi$\int\limits_{0}^{ \sqrt5}\sqrt{1+\rho^2} \rho d\rho$$

Правильно или нет?
Буду благодарен.

[SpBTimes]

$dS = \sqrt{1 + (z'_x)^2 + (z'_y)^2} dxdy$
$dS = \sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}dxdy$

[APECTAPX]

SpBTimes в сообщении #432955 писал(а):

$dS = \sqrt{1 + (z'_x)^2 + (z'_y)^2} dxdy$
$dS = \sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}dxdy$

хм, ок.
а как, если не секрет?

[SpBTimes]

Что как?

[APECTAPX]

SpBTimes в сообщении #432959 писал(а):

Что как?

как получилось, есть какая то формула или метод?

[SpBTimes]

Производные взял. Я не понимаю вопроса

[ИСН]

Короче: обычно люди помнят выражение для элемента поверхности в человеческих координатах, но не помнят в цилиндрических. Можно сесть и вывести. А можно применить то, первое, а к цилиндрическим перейти потом.

[spaits]

SpBTimes в сообщении #432955 писал(а):

$dS = \sqrt{1 + (z'_x)^2 + (z'_y)^2} dxdy$
$dS = \sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}dxdy$

Топикстартер, есть такая формула для $dS$, начните решение заново.
Возьмите интеграл по области интегрирования - кругу радиуса $\sqrt{5}$.
Топикстартер, в написанной Вами формуле для вычисления площади поверхности, а также в других равенствах ошибки, я не стану их разбирать.
Вам нужно найти площадь поверхности "шапочки" над цилиндром, это будет двойной интеграл (в предыдущей задаче надо было вычислить объем).
Напишите формулу для $S$, взяв интеграл, или посмотрите в учебнике.
Действительно, к полярным координатам перейдете потом.

[SpBTimes]

Цитата:

это будет двойной интеграл

Всё-таки поверхностный. А уж потом, по приведённым формулам, он сведётся к двойному

[Lemni]

Если можно, продолжу в этой теме, потому что задача очень похожая.

Нужно вычислить площадь части гиперболического параболоида $z=x^2-y^2$, расположенной между двумя эллиптическими параболоидами: $z=3x^2+y^2-2$ и $z=3x^2+y^2-4$

Получилось

$$4 \left( \int\limits_0^1 dx \int\limits_{\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{2-x^2}} \sqrt{1+4x^2+4y^2}dy + \int\limits_1^{\sqrt{2}} dx \int\limits_{0}^{\sqrt{2-x^2}} \sqrt{1+4x^2+4y^2}dy \right),$$

(проекцией получилось кольцо, оно симметричное, поэтому я взяла 4 раза площадь части поверхности).
Скажите, пожалуйста, правильно ли это?

Возникла проблема с интегралом - не понимаю, что делать с выражением под корнем: вроде взяла, но получается страшная штука с косинусом от арктангенса в двух местах (сделала замену $\tg t=\frac{2y}{\sqrt{1-4x^2}}$) Есть мысль заменить не на тангенс, а на $\sh (t)$, чтобы получить $\ch (t)$ под интегралом, но тогда пределы интегрирования поменяются на выражения с $\operatorname{Arsh}\frac{\sqrt{...}}{\sqrt{...}}$, с которыми опять непонятно, что делать дальше.
Заранее спасибо.