Система диофантовых неравенств

[nnosipov]

Меня интересует оригинальное (или какие-нибудь другие) решение следующей задачи (VII Кубок памяти Колмогорова):

Докажите, что при каждом $\varepsilon>0$ существуют такие натуральные $x$ и $y$, что $y^3<x^2<y^3+\varepsilon y$.

Возможно, это раньше уже обсуждалось.

[Руст]

Возьмите например $y=4n(n^3+1), x=8n^6+12n^3+3$, тогда $y^3=64n^3(n^9+3n^6+3n^3+1), x^2=64n^3(n^9+3n^6+3n^3)+72n^3+9>y^3,$
если $8n^3+9<\epsilon 4n(n^3+1)$, то $x^2<y^3+\epsilon y$. Последнее выполняется, если $n>\frac{3}{\epsilon}$.

[nnosipov]

Руст в сообщении #432833 писал(а):

Возьмите например $y=4n(n^3+1), x=8n^6+12n^3+3$, тогда $y^3=64n^3(n^9+3n^6+3n^3+1), x^2=64n^3(n^9+3n^6+3n^3)+72n^3+9>y^3,$
если $8n^3+9<\epsilon 4n(n^3+1)$, то $x^2<y^3+\epsilon y$. Последнее выполняется, если $n>\frac{3}{\epsilon}$.

Да, спасибо, вот это похоже на оригинальное решение. У меня просто формулы получились более громоздкими, а так всё то же самое. Этот пример также показывает, что найдутся бесконечно много пар $(x,y)$ натуральных чисел, для которых $y^3<x^2<y^3+Cy^{3/4}$. Можно ли здесь понизить показатель $3/4$?

[Руст]

Думаю можно. Для этого надо брать многочлены $y=f(n),x=g(n)$ степеней 2k и 3k. Вначале я пробовал $k=1$ и понял что при $k=1$ можно добиться только $y^3<x^2<y^3+Cy^m$ при $m=1$. Соответственно пришлось исхитриться с поднятием $k$ до 2.