Функциональное уравнение

[neo66]

Пусть $f(x)$ всюду определенная непрерывная действительная функция, такая, что для любых $x,y$ выполняется $f(xy)=f(x)f(y)$. Верно ли, что нет других таких функций, кроме $f(x)=x$, $f(x)=0$ и $f(x)=1$?

[ИСН]

А $x^2$ как же?

[gris]

Я думаю, что под $x$ понималась любая (допустимая) степень икс да ещё умноженная на коэффициент, квадрат которого равен ему самому, то есть 0 или 1. Основное свойство степеней бросается в глаза. А вот есть ли что ещё?
Что если прологарифмировать и рассмотреть сложную функцию $\ln (\mathrm {f}(x))$

Правда, если функция определена не только на положительных числах, то на показатель степени будут наложены некоторые ограничения.

[Imperator]

$f(x)=0$ и $f(x)=x^C,$ где $C$ -- константа.

[worm2]

$|x|^\alpha$, где $\alpha>0$, тоже подходит.

[neo66]

Всем спасибо. Похоже, кроме степенной функции ничего нет.

[Padawan]

При помощи логарифмирования функции и аргумента сводится к уравнению Коши $g(u+v)=g(u)+g(v)$, которое имеет только такие непрерывные решения $g(u)=Cu$ (см., например, первый том Фихтенгольца).
Правда, при замене $x,y>0$ должны быть. Об этом gris уже сказал.

[neo66]

Спасибо, уже осознал.