Опять функциональное уравнение!

[arseniiv]

Я решал уравнение $af(x) = f(bx)$, а решил нечайно $yf(x) = f(y^c x)$ с получением $f(x) = Cx^D$. Первому уравнению удовлетворяет так же, к примеру (при определённых $a$ и $b$, лень их находить), $f(x) = Cx^D\sin \ln x$. Помогите найти такие решения с периодической функцией! (Назовём её $p$, ведь можно вместо синуса что угодно подставить.) Или там ещё есть решения?

Вот с этого момента: $\ln a + h(y) = h(\ln b + y)$, где $h(y) = \ln f(e^y)$, — я неправильно решал и потерял решения. Не вижу, где можно было бы выделить кусок уравнения $p(x) = p(x + T)$.

[worm2]

Пусть b>1.
На отрезке $[1,b)$ можно как угодно функцию задать (если требуется непрерывность, то задаём непрерывную, плюс удовлетворяющую $\lim\limits_{x\to b} f(x)=af(1)$). А потом она однозначно восстанавливается на $(0, +\infty)$.
Однако Вас, насколько я понимаю, интересуют выражения, задающиеся единой аналитической функцией.

Цитата:

Вот с этого момента: $\ln a + h(y) = h(\ln b + y)$, где $h(y) = \ln f(e^y)$, — я неправильно решал и потерял решения. Не вижу, где можно было бы выделить кусок уравнения $p(x) = p(x + T)$.

$p(y)\equiv h(y)-y\log_b{a}$ ?

[Mikhail Sokolov]

Общее решение на положительной полуоси (в предположении, что $a$ и $b\neq 1$ положительные): $f(x)=h(\ln x)x^{\log_b{a}}$, где $h$ - периодическая функция с периодом $\ln b$.