модифицированное уравнение Чебышева

[perplexus]

Добрый утро/день/вечер/ночь. Попалось мне тут одно уравнение, представляющее собой уравнение Чебышева, но немного иного вида
$(1-x)y'' - xy' + n^2y = 0$, (n=const)

что я пытался:
1) свести к уравнению 1 порядка, введением замены $y=exp(\int zdx)$ $y'=z exp(\int zdx)$ $y''=(z' + z^2)exp(\int zdx)$
тогда уравнение приводится к виду
$(1-x)(z'+z^2) - xz + n^2=0$
получилось уравнение Риккати. Наиболее очевидным частным решением здесь является $n^2 \over x$, но из-за $z^2$ замена "не проходит".
2) $y'' + y' {-x \over {1-x}} + y {n^2 \over {1-x}} = 0$
введя замену $y=\varphi z$ (пусть, для краткости, $a_1 = {-x \over {1-x}}; a_2 = {n^2 \over {1-x}}$) получим
$\varphi {d^2 z \over dx^2} + (2 {d\varphi \over dx} + a_1 \varphi ) {dz \over dx} + ({d^2 \varphi \over dx^2} + a_1 {d \varphi \over dx} + a_2 \varphi)z=0$

$2 {d\varphi \over dx} + a_1 \varphi = 0$
решением которого будет
$\varphi = exp(-0.5 \int a_1 dx)$
${d \varphi \over dx}=-{1 \over 2}a_1 \varphi; {d^2 \varphi \over dx^2}=-{a_1 \over 2}{d \varphi \over dx}-{\varphi \over 2}{da_1 \over dx}=\varphi({a_1^2 \over 4}-{1 \over 2}{da_1 \over dx}})$
итого получим
${d^2 z \over dx^2} + (a_2 - {a_1^2 \over 4}-{1 \over 2}{da_1 \over dx})z$
т.е. уравнение привели к двучленному виду
${d^2 z \over dx^2}+({n^2 \over {1-x}}-{1 \over 4}{x^2 \over {(1-x)^2}}+{1 \over 2}{1 \over {(1-x)^2}})z = 0$
которое я затрудняюсь решить, если оно вообще разрешимо в квадратурах

[ИСН]

Последнее, что получилось, можете умножить на $z'$, проинтегрировать разок, выразить первую производную, и остаться нос к носу с уродливым интегралом.
Альфа решает через спецфункции.

[svv]

А не поможет как-то так?
$((1-x)y')'+n^2y=0$
И, конечно, заменить $1-x$ или $x-1$ на $t$.

Ой, что я пишу... Бред. Не читать. Смертельно опасно.

[perplexus]

ИСН в сообщении #432593 писал(а):

Последнее, что получилось, можете умножить на $z'$, проинтегрировать разок, выразить первую производную, и остаться нос к носу с уродливым интегралом.
Альфа решает через спецфункции.

не совсем понял с умножением на $z'$: порядок же повысится. И что за альфа?

[ИСН]

Порядок у Вас и так уже второй. От введения первой производной повыситься он не может.
Впрочем, это я фигню предложил, а вылезшие спецфункции окончательно захлопнули крышку гроба над этим рассуждением.
(wolframalpha.com, ну.)