Метод Кардано

[Ramm13]

Где можно посмотреть ПРАВИЛЬНО росписан метод Кардано решения кубического уровнея??

[Алексей К.]

Здесь, на форуме.

[Mitrius_Math]

Ramm13, в Сети есть книги "Алгебра многочленов" Винберга и "Задачник-практикум по алгебре" Солодовникова и Родиной. Там очень хорошо описано, но нужно знать комплексные числа.

[ewert]

Алексей К. в сообщении #432583 писал(а):

Здесь, на форуме.

Там, по-моему, почти цельнотянуто из Вики и выглядит довольно странно. Канонический вариант формулы Кардано можно посмотреть, скажем, в БСЭ. Он сводится к тому, что для уравнения $x^3+px+q=0$ три корня (два из которых, возможно, совпадают) получаются как $x_{1,2,3}=u_{1,2,3}-\dfrac{p}{3u_{1,2,3}}$, где $u_{1,2,3}=\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}$ -- три комплексных значения кубического корня. Знак перед квадратным корнем можно фиксировать любым из двух возможных способов, но так, чтобы $u_{1,2,3}$ получалось ненулевым. Впрочем, ноль там может получиться только в тривиальном случае, когда $p=0$.

(Хотя с вычислительной точки зрения в любом случае лучше посчитать оба варианта выражения под кубическим корнем и для извлечения корня выбрать тот вариант, который больше по модулю -- это минимизирует погрешности округления.)

[Алексей К.]

ewert в сообщении #432814 писал(а):

Там, по-моему, почти цельнотянуто из Вики

Там всё из справочника Цыпкиных.

[ewert]

(Оффтоп)

Алексей К. в сообщении #432823 писал(а):

Там всё из справочника Цыпкиных.

А я и не знаю такого справочника. Хорошо-то как!

[Алексей К.]

(Дифирамб Цыпкину.)

ewert в сообщении #432839 писал(а):

А я и не знаю такого справочника. Хорошо-то как!

А я сразу узнал любимый справочник. Маленький, ничего лишнего.
Просто Вы всю эту муть преподаёте из года в год, и, небось, наизусть выучили.
А когда этим занимаешься только на шабашке, да ещё и не каждое лето ездишь... Но зато знаешь заранее, что пространство будет трёхмерным и евклидовым, функция — непрерывной, интеграл — вполне собственным, то зачем покупать чемодан для Корна?
Рюкзачок, Цыпкин, зубная щётка, фотоаппарат. Бабки потом в Цыпкина вполне поместятся.
Я имею в виду доинтернетную епоху, конечно.

[ewert]

(Оффтоп)

Алексей К. в сообщении #432852 писал(а):

Просто Вы всю эту муть преподаёте из года в год, и, небось, наизусть выучили.

Если под мутью понимать формулу Кардано, то я её никогда никому не преподавал и, более того, обычно рекомендую её немедленно забыть, если вдруг кто нечаянно признается, что помнит (и сам своему совету тоже следую).

Только, видите ли -- всё ведь знать невозможно. И в частности: можно знать или справочник Цыпкиных, или формулу Кардано. А вот одновременно и то, и другое -- очень трудно.

Насчёт "ничего лишнего" -- это перебор. В описании того же кубического уравнения -- просто безумно много лишнего. Зато кое-чего не хватает. Они там в конце пишут:

"Корни полного кубичного (кстати, почему кубичного?) уравнения $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ вычисляются по формулам $x_i=y_i-\dfrac{b}{3a}\ (i = 1, 2, 3)$, где $y_i$ — корни неполного кубичного уравнения."

Но сообщить о том, какого конкретно неполного -- забывают!

Подобного рода небрежностей там хватает. Например, они, кажется, не определяют смысл записи $f=O(g)$. Видимо, полагая, что все и так это понимают. Но забывая о том, что все понимают это совсем не в том смысле, в каком они.

[Утундрий]

Я этот метод так запомнил: сдвигом убить $x^2$, подставить $x=a+b$, а дальше все просто...

[Sonic86]

Утундрий писал(а):

Я этот метод так запомнил: сдвигом убить $x^2$, подставить $x=a+b$, а дальше все просто..

Лучше $x=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$, а потом приравнивать рациональное и иррациональное...

[Утундрий]

Sonic86
Тогда уж и приведенное сразу в таком виде записывать:
$\[ x^3 - 3q^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 3}} x + 2\left( {q + \Delta } \right)^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} = 0 \] $