Загадочный ряд

[laplas_the_best]

Исследовать на условную и абсолютную сходимость.

$\sum\limits_2^{\infty}(-1)^n \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$

По признаку Лейбница -- ряд сходится условно.

А с абсолютной сходимостью -- сложнее.

Даламбер дает единицу, а признак сравнения ничего не дает (сравниваем с рядом $\sum\limits_2^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ ведь $\alpha=1/2$ => ряд расходится, а значит о сходимости ряда $\sum\limits_2^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$ мы сказать ничего не можем) Что же делать?=)

[Хорхе]

Вы-то ряд нужный подобрали для сравнения, только признак сравнения взяли не тот. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA_%D1%81%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F#.D0.9F.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D0.B9_.D0.BF.D1.80.D0.B8.D0.B7.D0.BD.D0.B0.D0.BA_.D1.81.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.BD.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F

[ewert]

Там крайне неудачная формулировка второго признака сравнения: правильная, но издевательски правильная.

И, кстати, зачем сравнения, когда достаточно сделать замену $n+1=k$?...

[Хорхе]

Кстати, да, мудрю чего-то.

[ewert]

Хорхе в сообщении #432223 писал(а):

мудрю чего-то.

Нет, не мудрите. Указание на то, что вместо первого признака сравнения следовало использовать второй -- абсолютно идейно. (А перенумерация --напротив, случайно помогает, к тому же это ведь ещё и вопрос, который ряд считать эталонным и почему эталонным; в общем, там я скорее пошутил). Но вот та Викиссылка -- явно нехороша. Те товарищи откровенно пытаются спрятать лес за деревьями.

[laplas_the_best]

Спасибо, Хорхе и ewert, все теперь понятно!!!

-- Чт апр 07, 2011 22:43:25 --

А что означает вертикальная черта над пределом $\overline{\lim\limits_{n \to \infty}}a_n$?!

[Someone]

laplas_the_best в сообщении #432138 писал(а):

А с абсолютной сходимостью -- сложнее.

Даламбер дает единицу, а признак сравнения ничего не дает (сравниваем с рядом $\sum\limits_2^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ ведь $\alpha=1/2$ => ряд расходится, а значит о сходимости ряда $\sum\limits_2^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$ мы сказать ничего не можем) Что же делать?=)

А почему бы не использовать интегральный признак?

laplas_the_best в сообщении #432252 писал(а):

А что означает вертикальная черта над пределом $\overline{\lim\limits_{n \to \infty}}a_n$?

Не вижу вертикальной черты, а горизонтальная черта над знаком предела означает так называемый верхний предел - наибольшую из предельных точек последовательности (включая $-\infty$ и $+\infty$).

[bot]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #432232 писал(а):

там я скорее пошутил

Вот это уже шутка, скорее берите её назад. А та "шутка" была вовсе и не шутка - это эталонный ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1{\sqrt n}$ только без первых двух членов, видно и без перенумерации.

[ewert]

(Оффтоп)

bot в сообщении #432365 писал(а):

это эталонный ряд только без первых двух членов, видно и без перенумерации.

Нет, без перенумерации -- никак, и то, что та перенумерация делается подсознательно, сути дела не меняет.

Но главное в другом: сведение к эталонному перенумерацией -- конечно, хорошо, но безыдейно. Это -- лишь случайность, надеяться на которую, вообще говоря, неразумно. А вот второй признак сравнения -- первое, что должно приходить в голову.

Someone в сообщении #432318 писал(а):

верхний предел - наибольшую из предельных точек последовательности

Хм. Это можно послать опять же в Вику, Вика всё стерпит. А тут лучше бы определить иначе: $\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{k>n}a_k$.

[laplas_the_best]

Спасибо, понятно=)