Теорема Римана о конформных отображениях

[nastya2011]

Здравствуйте!) Как многие знают, теорема Римана гласит, что любые две односвязные области можно взаимно однозначно и конформно отобразить друг на друга если их границы состоят более чем из одной точки) но мне дали утверждение следующее: возможно ли отобразить если одна общая точка? Очевидно, Риман-мужчина не глупый, не стал бы налагать условие "про более чем одну точку" если бы возможно было бы отобразить при наличие одной) но это не является доказательством((( помогите пожалуйста ответить на вопрос:
существует или не существует конформное отображение: $\{z: |z|>0 \} \longmapsto \{z: |z|<1 \}$

P.S.: суть такая, первая область-вся комплексная плоскость кроме точки 0,т.е. 0-точка границы. И это множество отобразается на внутренность единичного круга. очень нужно...(

[ewert]

nastya2011 в сообщении #432115 писал(а):

очень нужно...(

, но вряд ли выйдет. И дело тут не в количестве точек, а просто вторая область односвязна, первая же -- нет.

[nastya2011]

очень нужен ответ, существует или нет) и почему. То что не существует интуитивно очевидно, но как доказать строго я не понимаю(

[Хорхе]

Я так понимаю, речь идет об отображениях расширенной комплексной плоскости (= сферы Римана), иначе первая область не односвязна.

От противного. Пусть существует. Тогда $0$ - устранимая особенность (причем не полюс, так как функция ограничена). Но тогда функция ограничена на $\mathbb C$, а значит...

(скобка не бессмысленна)

Для отображений расширенной комплексной плоскости полюс - тоже устранимая особенность.

[nastya2011]

Хорхе в сообщении #432122 писал(а):

От противного. Пусть существует. Тогда $0$ - устранимая особенность (причем не полюс, так как функция ограничена). Но тогда функция ограничена на $\mathbb C$, а значит...

(скобка не бессмысленна)

Для отображений расширенной комплексной плоскости полюс - тоже устранимая особенность.

а почему функция ограничена? и почему от того что $0$ - устранимая особенная точка следует, что функция ограничена на $\mathbb C$?

[ewert]

Конформное отображение -- оно, помимо всего прочего, непрерывно. А непрерывность сохраняет однозсвязность.

Вот возьмите окружность вокруг выколотой точки и рассмотрите её образ внутри круга. А потом начните тот образ стягивать в точку. Во что будет стягиваться окружность?...

[nastya2011]

ewert
в точку?)

[Хорхе]

nastya2011 в сообщении #432127 писал(а):

а почему функция ограничена? и почему от того что $0$ - устранимая особенная точка следует, что функция ограничена на $\mathbb C$?

Я, видимо, был слишком многословен и всё запутал. Ограниченность функции очевидна изначально. То, что особенность устранима, просто позволяет продолжить функцию в ноль.

Можно вообще никаких особенностей не устранять, а просто-напросто рассмотреть $f(1/z)$, которая будет ограничена на $\mathbb C$, а значит...

[nastya2011]

как детектив)
Хорхе, а что это значит?(

[Хорхе]

Почитайте конспект/учебник, что известно об ограниченных на $\mathbb C$ аналитических функциях.

[ewert]

Можно и без Лиувилля. Поскольку нуль -- это всё-таки устранимая особая точка, образ выколотой окрестности нуля будет содержать в себе некоторую выколотую окрестность образа нуля, целиком лежащую в том круге, который на выходе. Но это противоречит тому, что сам образ нуля кругу не принадлежит.

[nastya2011]

теорема Лиувилля здесь не действует вроде же, в условии требуется, чтобы аналитическая функция была аналитична на всей комплексной плоскости.
ewert, тогда получается, что если граница состоит больше чем из одной точки, то, рассуждая аналогично, мы придем к противоречию с теоремой Римана.

[ewert]

nastya2011 в сообщении #432767 писал(а):

теорема Лиувилля здесь не действует вроде же, в условии требуется, чтобы аналитическая функция была аналитична на всей комплексной плоскости.

А она и аналитична на всей плоскости, раз ноль является устранимой особой точкой. Другое дело, что теорема Лиувилля тут не обязательна.

nastya2011 в сообщении #432767 писал(а):

если граница состоит больше чем из одной точки, то, рассуждая аналогично, мы придем к противоречию с теоремой Римана.

Как это "аналогично", если больше одной?...

[nastya2011]

ewert
Допустим граница из $n$ устранимых точек,образ выколотой окрестности каждой из них будет содержать в себе некоторую выколотую окрестность ее образа, целиком лежащую в том круге, который на выходе. Но это противоречит тому, что сам образ каждой точки кругу не принадлежит.
как то так "аналогично")

[ewert]

Ну и где тут противоречие с Риманом? Если выколоть более одной точки, то область уж ни в каком смысле не будет односвязной.