Системы "линейных" уравнений в свободной группе

[Sonic86]

Дана система уравнений
$\left\{ \begin{array}{ll} r_1=x^{a_1}y^{b_1}...x^{a_s}y^{b_s} \\ r_2=x^{c_1}y^{d_1}...x^{c_s}y^{d_s} \end{array} $
в свободной группе $F=<x,y>$. Матрицей системы назовем матрицу из сумм показателей $M = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c& d \end{array} \right)$, пусть $\det M = \pm 1$. Верно ли что существует единственное решение системы $x=f(r_1,r_2), y=g(r_1,r_2)$?
Ответ точно верен для некоторого класса пар функций $(f,g)$, а вот в общем случае я не знаю.
В Куроше ничего не нашел.
Литература очень приветствуется!

-- Вт апр 05, 2011 22:53:41 --

Хотя я туплю.
Уравнение $v=bxb^{-1}x^{-1}b$ уже очевидно неразрешимо.
Хотя комментариям все равно буду рад.

[Sonic86]

Буду писать сюда, чтоб тема не пропадала (тем более все равно никто не отвечает).

Решить уравнение в свободной группе $F=<a,b>$ с точностью до сопряженных элементов (т.е. можно сдвигать циклически строки, причем как слева, так и справа)
$x^{-2}y^3=abab^{-1}a^{-1}b^{-1}$
$x,y$ - неизвестные.
Я нашел одно решение $x=bab, y=ab$ (и аналогичное $x=bab, y=ab$). Остальные можно найти путем нахождения автоморфизмов выражения $abab^{-1}a^{-1}b^{-1}$ (или можно даже искать автоморфизмы выражения $x^{-2}y^3$?!). Автоморфизмы с помощью сопряжения исключаем по условию. А как найти другие автоморфизмы или доказать, что их нет? (хотя если можно искать автоморфизмы $x^{-2}y^3$, то их точно нет, кроме получаемых сопряжением)
Опять же, литература приветствуется.

[Sonic86]

Найти все решения системы уравнений все в той же свободной группе:
$\left\{ \begin{array}{ll} xy \bar x \bar y=ba \bar b \bar a \\ wx \bar wyw \bar x \bar w \bar y=bbaab \bar a \bar b \bar b \bar b \bar a \end{array}$
Пока даже идеи для перебора нету.
Здесь $\bar s = s^{-1}$
При последнем редактировании исправил условие.

[svv]

Это правильно, что во втором уравнении в левой части множителей $8$, а в правой $10$?
Просто $xy \bar x \bar y$ красиво, $ba \bar b \bar a$ красиво, $wx \bar wyw \bar x \bar w \bar y$ красиво, а $bbaab \bar a \bar b \bar b \bar b \bar a$ не очень, только это и было поводом для вопроса.

[Sonic86]

Правильно.
Одним из решений является $w=b, x=bab, y=ab$, но мне нужен метод поиска всех решений, приведенное решение я использую для проверки своих рассуждений.
Красота, видимо, воплощается в коммутаторе:
$xyx^-y^-=[x;y]$
$bbaaba^-b^-b^-b^-a^-=[bba;ab]$
Лучше бы это красоты не было. Из-за нее каждое уравнение в отдельности имеет очень много решений (аналогичная система линейных уравнений в коммутативной группе просто имеет нулевую матрицу).

Вчера нашел идею перебора: брать гомоморфизмы. Например, если правые части уравнений обозначить $k_1, k_2$, то для гомоморфизма $w \to 1$ получаем $k_1k_2^{-1} \to 1$. $k_1k_2^{-1}$ можно вычислить, и тогда встает другая задача:
Дано $s \to 1$ (причем суммы степеней =0), найти все $r:r \to 1 \Rightarrow s \to 1$ (у нас $s=k_1k_2^{-1}, r=w$). Тривиальными решениями будут $r=aba^-b^-$ и все строки, содержащие либо $a$, либо $b$ только 1 раз и все их циклические сдвиги. А вот как все решения найти?